ko chỉ là kết nghĩa, nhỉ

chỉ là kết nghĩa

1. Tên em: Đinh Minh Hà - MSS 20

2.Lớp 9A1 trường THCS Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ

3. Đề : Giải hệ phương trình sau : 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.(1)$

4. Đáp án :

Ta có :

$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (4x^{2}-20x^{2}+24x^{2} \right )+\left (y^{2}+5y^{2}+6y^{2} \right )+\left (4xy-24xy \right )=0 & & \\ 4x^{2}-y^{2}+1=(6x-3y) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4x^{2}+y^{2}+4xy \right )-\left ( 20x^{2}-5y^{2} \right )+24x^{2}+6y^{2}-24xy=0 & & \\ (2x-y)(2x+y)+1=3(2x-y) & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2x+y \right )^{2}-5\left ( 4x^{2}-y^{2} \right )+6\left ( 2x-y \right )^{2}=0 & & \\ (2x-y)(2x+y)+1=3(2x-y) & & \end{matrix}\right.(2)$

Nếu $2x-y=0$ PT vô nghiệm

Nếu $2x+y=0$ PT vô nghiệm

Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2x+y \right )^{2}-5\left ( 2x-y \right )\left ( 2x+y \right )+6\left ( 2x-y \right )^{2}=0 & & \\ (2x+y)+\frac{1}{2x-y}=3 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $2x-y=a,2x+y=b$

Ta có HPT mới là :

$\left\{\begin{matrix} b^{2}-5ab+6a^{2}=0 & & \\ b+\frac{1}{a}=3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-5ab+6a^{2}=0 & & \\ ab+1=3a & & \end{matrix}\right.(3)$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $a=tb$

Ta được hệ phương trình mới là $\left\{\begin{matrix} b^{2}-5tb^{2}+6t^{2}b^{2}=0 & & \\ tb^{2}+1=3bt & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1-5t+6t^{2}=0$

$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$$\Rightarrow a=\frac{1}{2}b$ Thay vào HPT (3) ta có : $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-\frac{5}{2}b^{2}+\frac{3a}{2}^{2}=0 & & \\ \frac{1}{2}b^{2}+1=\frac{3b}{2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow b^{2}+2-3b=0\Rightarrow (b-1)(b-2)=0$

Nếu $b=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y=1 & & \\ 2x-y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{8} & & \\ y=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $b=2\Rightarrow a=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y=2 & & \\ 2x-y=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4} & & \\ y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$

Vậy $S=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right );\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

1. Họ tên: Đinh Minh Hà- MSS 20

2,Lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao , tỉnh Phú Thọ

3,Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.$

4. Đáp án 

Ta có HPT :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.$

$+)$Nếu $xy=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=\sqrt{\frac{3}{2}} & & \end{matrix}\right.$

$+)$Nếu $xy\neq 0$

Ta có :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12(1) & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0(2) & & \end{matrix}\right.$

Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với $x$

Ta có HPT mới là :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{4}+2(xy)^{2}+12xy=0 & & \end{matrix}\right.(3)$ 

Vì $xy\neq 0$. Không mất tính tổng quát ta đặt $x=ty$ với $t\neq 0$

Thay $x=ty$ vào $(3)$ ta được HPT mới là :

$\left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ (ty)^{4}+2(y^{2}t)^{2}+12ty^{2}=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ (ty)^{4}+2(y^{2}t)^{2}=-12ty^{2}(4) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ t^{3}y^{2}+2y^{2}t=-12 & & \end{matrix}\right.$ Chia cả 2 vế của phương trình (4) cho $ty^{2}$

$\Rightarrow \frac{(ty)^{2}+8y^{2}}{ t^{3}y^{2}+2y^{2}t}=-1\Leftrightarrow \frac{t^{2}+8}{t^{3}+2t}=-1$

$\Rightarrow t^{2}+8+t^{3}+2t=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{2}+4-2t+t \right )=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{4}+4-t \right )=0$

$\Rightarrow t^{2}+8+t^{3}+2t=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{2}+4-2t+t \right )=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{4}+4-t \right )=0$

Vì $t^{2}+4-t>0$$\Rightarrow t+2=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow x=-2y$

Thay $x=-2y$ vào GT của đề bài. $\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^{2}+8y^{2}=12 & & \\ -8y^{3}+12y-4y^{3}=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y^{2}=1\Rightarrow \begin{bmatrix} y=1,x=-2 & & \\ y=-1,x=2 & & \end{bmatrix}$

Vậy $(x,y)\in \left \{ (-2,1);(2;-1);\left ( 0;\sqrt{\frac{3}{2}} \right )\right \}$  thì thỏa mãn được hệ phương trình

P/s: Em không tìm ký hiệu móc vuông(dấu hoặc) nên em thay bằng ký hiệu khác . Không biết BQT chấp nhận được không, Nếu không được thì giúp em sửa những chô sai ạ  .

Em cảm ơn

1. Họ và tên thật: Đinh Minh Hà

2. Đang học lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ

3. Đề : Tìm các sô nguyên dương $a$ và $b$ $a\geq b$ sao cho các nghiệm của phương trình sau là sô nguyên : $x^{2}-abx+(a+b)=0$

4. Đáp án

Gọi $m,n$ là nghiệm nguyên của phương trình : $x^{2}-abx+(a+b)=0 (1)$ 

giả sử $m\geq n$

Áp dụng định lý Vi-et :

Ta có : $\left\{\begin{matrix} m+n=ab & & \\ mn=a+b & & \end{matrix}\right.(2)$

Do $a,b$ là các sô nguyên dương nên $m,n$ là các sô nguyên dương.

Trước hết ta sẽ chứng minh bồ để sau : 

$+)$ Nếu 2 sô nguyên lớn hơn 2 thì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng .

Giả sử $a>2,b>2$$\Rightarrow ab>2b,ab>2a\Rightarrow 2ab>2(a+b)\Rightarrow ab>a+b$

Vậy $ab>a+b$

Áp dụng bổ đề trên với 4 số : $a,b,m,n$ thì ta có : $ab< a+b,mn< m+n\Rightarrow ab+mn< m+n+a+b$ vô lý.

Trái với điều (2)

Vậy trong 4 số $a,b,m,n$ có 1 số không lớn quá 2

Không mất tính tổng quát giả sử $n\leq 2$

$+)$ Nếu $n=1$ 

Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+1 & & \\ a+b=m & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab-a-b=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=2 & & \\ b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=5$

$+)$ Nếu $n=2$

Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+2 & & \\ a+b=2m & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2ab-a-b=4\Rightarrow 4ab-2a-2b=8\Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=9$

Như vậy ta có 2 trường hợp :

$\left\{\begin{matrix} 2a-1=9 & & \\ 2b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=3$

$\left\{\begin{matrix} 2a-1=3 & & \\ 2b-1=3 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=2$

Kết luận : Vậy $(a,b)\in \left \{ (2;2),(5;1),(3;2) \right \}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm nguyên

tiếc cho bác Nghĩa thiệt đó, các mod cũng hơi quá tay thiệt,

Ta có :

$2(\sum a^{2})+12\geq 3(a+b+c)+3\left ( \sum ab \right )$

$\Rightarrow 4(\sum a^{2})+24\geq 6(a+b+c)+6\left ( \sum ab \right )$

$\Rightarrow 3(\sum a^{2})+15+(a+b+c-3)^{2}-8\left ( \sum ab \right )\geq 0$

Ta sẽ cm : $3\left ( \sum a^{2} \right )-8\left (\sum ab \right )+15\geq 0$

Ai giúp cm nốt cái hình như mik làm sai thì phải.

P/s:Nếu sai nhờ mod xóa hộ cái hoặc sửa cug đc

cho xy+yz+xz=671

cm$P=\frac{y}{y^2-xz+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}+\frac{x}{x^2-yz+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Áp dụng BĐT Am-Gm

Ta có : $P=\frac{y}{y^2-xz+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}+\frac{x}{x^2-yz+2013}=\frac{y^{2}}{y^{3}-xyz+2013y}+\frac{z^{2}}{z^{3}-xyz+2013z}+\frac{x^{2}}{x^{3}-xyz+2013x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum x^{3}-3xyz+2013(y+x+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(\sum x^{2}-\sum xy)+(3\sum xy)(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(\sum x^{2}+2\sum xy)}=\frac{x+y+z}{(\sum x)^{2}}=\frac{1}{x+y+z}$

Dấu = xảy ra khi ..............

Nếu mà có thêm dk $a+b+c\leq 3$ thì lại dễ quá.

Vì $abc=1\Rightarrow a+b+c\geq 3\Rightarrow a+b+c=3$ 

Ta có : Áp dụng BĐT AM-GM :

$\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}\sum \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\leq \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra ..........

cmr có vô số số nguyên dương n thỏa mãn n^4+(n+1)^4 là hợp số  

 giúp mình với

cho mình cảm ơn trước                        

Bạn ơi nhầm rồi nếu thử n=1,n=2 đều là số nguyên tô mà bạn

Let's continue...

Bài 27: Tính nhanh tích sau: $2013.(1-\frac{4}{1}).(1-\frac{4}{9}).(1-\frac{4}{16}).(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{2013^{2}})$

$2013.(1-\frac{4}{1}).(1-\frac{4}{9}).(1-\frac{4}{16}).(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{2013^{2}})=2013\left ( 1-2^{2} \right )\left ( 1-\frac{2}{3}^{2} \right )\left ( 1-\frac{2}{4}^{2} \right )...\left ( 1-\frac{2}{2013}^{2} \right )=2013\left ( 1-2 \right )(1+2)\left ( 1-\frac{2}{3} \right )\left ( 1+\frac{2}{3} \right )\left ( 1-\frac{2}{4} \right )\left ( 1+\frac{2}{4} \right )...\left ( 1+\frac{2}{2013} \right )\left ( 1-\frac{2}{2013} \right )=2013\left [(-1)\frac{1}{3}.\frac{2}{4}.\frac{3}{5}....\frac{2011}{2013} \right ]\left [ 3.\frac{5}{3}.\frac{6}{4}.\frac{7}{5}....\frac{2015}{2013} \right ]=-6039.\frac{1.2.2014.2015}{3.4.2012.2013}=-\frac{2014.2015}{2.2012}=\frac{-2015.1007}{2012}$

ko bik đug ko, lâu lăm ms làm dạng này

Bài 27: Viết các tập hợp dưới đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: 

$A={1;4;7;10;13;16;19}$

$B={1;8;27;64;125}$

$C={2;6;12;20;30;42}$

Bài 27: 

A, mỗi số cách nhau 3 đơn vị

B, Lập phương của các stn liên tiếp

C) Khoảng cách giữa các số là các số chẵn liên tiếp từ 4 

P/s : khó nói quá, để em viết ra cho dễ  hỉu

c) $6-2=4,12-6=6,20-12=8,30-20=10,....$

Ta có : $c=a^{2}+b^{2}$

Ta cm : $2c$ là tổng của 2 scp, 

$2c=2a^{2}+2b^{2}=(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a^{2}+b^{2}-2ab)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$ 

$\Rightarrow q.e.d$

 $P =(\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+ac+bc)})=2\frac{\sum a^{3}}{(\sum a)(\sum a^{2})}$$= 4\left ( \frac{\sum a^{3}}{\sum a^{3} } \right )= 4$

mình nghĩ thế 

Làm sao có chỗ này đc hả bạn, mà dấu = xảy ra khi nào

 

$\boxed{5}​$  Giải các phương trình sau

 

a) $|x-2013|^{2013}+|x-2014|^{2014}=1$

 

b) $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}(x+y+z)$

 

 

5b) Ta có : $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}(x+y+z)$

Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y-1}=b,\sqrt{z-2}=c\Rightarrow \frac{1}{2}(x+y+z)=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$

Ta có : $2(a+b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$

mà $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+1\geq 2b,c^{2}+1\geq 2c\Rightarrow \sum a^{2}+3\geq \sum a$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1\Rightarrow x=1,y=2,z=3$

5)

Nếu $x<2013\Rightarrow \left | x-2013 \right |^{2014}+\left | x-2014 \right |^{2013}>1$

Nếu $x>2014\Rightarrow \left | x-2013 \right |^{2014}+\left | x-2014 \right |^{2013}>1$

Nếu $2013<x<2014\Rightarrow \left | x-2013 \right |^{2014}+\left | x-2014 \right |^{2013}<\left | x-2013 \right |+\left | x-2014 \right |=x-2013+(2014-x)=1$

$\Rightarrow x=2013;2014$

3.

Đặt $\left\{\begin{matrix} a-b=x & & & \\ b-c=y & & & \\ c-a=z & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x+y+z=0$

Ta có :$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^{2}}=\left ( \frac{x+y}{xy} \right )^{2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^{2}}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}$

@@ Friend: Đã sửa

Chứng minh với mọi a, b, c dương

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

Áp dụng BĐT AM-GM

Đầu tiên ta sẽ cm bài toán phụ sau : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c$

Ta có : $\frac{a^{3}}{b^{2}}+a\geq 2\frac{a^{2}}{b}$

CMTT : .........

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq 2\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

vì $-\sum a\geq \sum -\frac{a^{2}}{b}$

chỗ đó nữa (ê cái chưng minh của bạn chỉ cần trừ là xong thế thôi)      

bạn thấy cách của mik đúng ko, bạn có thể nêu cách cm của bạn đê mik học hỏi     

P/s : mik đã sửa chỗ màu đỏ 

$0\leq x+y+z\leq 4$ vì $x^{7}+y^{7}+z^{7}= 4$ chô này cug ko chăc cho lắm, góp y cho mik nhé       

Nếu $a,b,c>0$ thì làm giựa vào GT nhanh hơn nhiu $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{a^{2}}+3-3\geq 2\sum \frac{1}{a}-3 \Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{a}$

Áp dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Swchar

Ta có : $\sum \frac{1}{a+4b+c}=\frac{1}{36}\sum \frac{36}{a+4b+c}\leq \frac{1}{36}\sum \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{b} \right )=\frac{1}{36}\left ( \frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c} \right )\leq \frac{1}{2}$

Gần giống cách của anh banhbaogaongon nhưg giúp gọn bớt

cho a,b,c thoả mãn $\sum \frac{1}{a^{2}}= \sum \frac{1}{a}$

cmr $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{6}$

Mình nghĩ đầu bài là thế này.

 

 

$\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{3b}$

$=\frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Do $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )^{2}\Rightarrow \frac{1}{a}\leq 3$

Và $3\geq \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geq 3$

Vậy $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\iff a=b=c=1$

Đề phải cho $a,b,c >0$ thì ms cô si chớ ạ

Vậy mik làm cách khác để cm vậy :

Với $x,y,z$ chẵn thì đúng rồi :

Với $x,y,z$ lẻ,

Giả sử $x=2k+1\Rightarrow x^{6}=\left ( 2k+1 \right )^{6}=(2k)^{6}+6(2k)^{5}+15(2k)^{4}+20(2k)^{3}+15(2k)^{2}+6.2k+1\equiv 1(mod4)$

$\Rightarrow x^{7}\equiv x(mod4)$

TT với $y,z$

Dùng cái này hơi mạnh 1 chút, chịu khó thui     

Đây là BĐT Nesbit thì phải 

Áp dụng BĐT Côsi:

Ta có : $\sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\leq \left ( \frac{b+c}{a}+1 \right ):2=\frac{b+c+a}{2a}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c} \Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

Ko có dấu = xảy ra $\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

Làm bừa cái, ko bik đug ko     thông cảm nha

Áp dụng định lý Fecma: $a^{p-1}\equiv a(modp)$

Ta có : $\left\{\begin{matrix} x^{7}\equiv x(mod4) & & & \\ y^{7}\equiv y(mod4) & & & \\ z^{7}\equiv z(mod4) & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{7}+y^{7}+z^{7}\equiv x+y+z(mod4)$

Vì $x^{7}+y^{7}+z^{7}=4\Rightarrow 0<x+y+z\leq4$ vì $x,y,z$ nguyên

Mà $x+y+z\vdots 4\Rightarrow z+y+x=4$

Ta có HPT ms là $\left\{\begin{matrix} x^{7}+y^{7}+z^{7}=4 & & \\ z+x+y=4 & & \end{matrix}\right.$

Giải HPT ra là xong ...........

Mik cug chưa làm hết đc, hình như là vô nghiệm thì phải

thế mới là mở rộng vì mình nghĩ ra chứ ko phải do mình đọc đc 

bạn quả là cãi cố, bạn nghĩ ra thì cug phải xem đug hay ko chớ, bạn cứ đăng bừa lên sao đc