Cho dãy ( u_n) xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n}=\sqrt{u_{n}(u_{n}+1)(u_{n}+2)(u_{n}+3)+1}& \end{matrix}\right.$
Tính : $lim \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{u_{i}+2}$

Xét nghiệm dạng (x,y)=(a,0) thì a=0 hay (x,y)=(0,0)

Xét y khác 0. Đặt x = ky. Hệ tạm thời viết lại thành : 

     $x^{3}+x^{2}y=8y-x(I) ; x^{4}y^{2}=4y^{2}-x^{2}(II)$

Bình phương hai vế của (I), nhân chéo vế theo vế với (II) rút gọn ta được

        $(k^{3}+k^{2})^{2}(4-k^{2})=k^{4}(8-k^{2})^{2}$

Giải ra k = 0 là nghiệm duy nhất

x= 0 nên y = 0

Tóm lại (x,y) = (0,0)

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2y+x-8y=0  \\ x^4y^2-4y^2+x^2=0\end{matrix}\right.$

Một cách khác:

- Nhận thấy x=y=0 là một nghiệm của hệ.

-Xét y khác 0. Chia cả hai vế của PT (1) cho $y$ và chia cả hai vế của PT (2) cho $y^2$ ta được:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y}+x^2+\frac{x}{y}-8=0 & \\ x^4-4+\frac{x^2}{y^2}=0 & \end{matrix}\right.$

$<=>$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y}+(x^2+\frac{x}{y})=8 & \\ (x^2+\frac{x}{y})^2-2.\frac{x^3}{y} =4& \end{matrix}\right.$

Từ đây đặt ẩn phụ và giải hệ ...

Giải phương trình:

$6tanx= tan2x-5cot3x(tan2x-5cot3x)$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2y+x-8y=0  \\ x^4y^2-4y^2+x^2=0\end{matrix}\right.$

Cho ba số thực phân biệt a,b,c.

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum a^2. \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Tính đạo hàm của hàm số:

$y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-cos^2(2x+1)$

Giải PT:

$4(sinx+cosx)=4sin(2x+\frac{5\pi }{2})+sin4x$

Giải phương trình:

$\frac{\sqrt{3} cos 2x+sin 2x+\sqrt{3}}{cosx}=4cos 4x$

Giải Phương trình:

$ cos 2x +cos 3x- sin x-cos 4x -sin 6x=0$

Xác định dạng của tam giác ABC biết:

$\frac{cosB+cosC}{cosA+cosC}=\frac{sinA}{sinB}$

Giải phương trình: $(3x-1)\sqrt{25-x^2}=35-x$

Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$

Chứng minh rằng: $cosB+cosC=1$

Cho tam giác ABC không vuông.

CMR:$tanA+cotA+tanB+cotB+tanC+cotC=\frac{2}{sin2A}+\frac{2}{sin2B}+\frac{2}{sin2C}$

Cho : $\left\{\begin{matrix}tan(x+y)=8  \\ tan(x-y)=5\end{matrix}\right.$

Tính : $tan 2x$ và $tan2y$

Trộn 30 ml dung dịch có chứa 2,22 g CaCl₂ với 70 ml dung dịch có chứa 1,7 g AgNO₃ .

a) Hãy cho biết hiện tượng quan sát được và viết phương trình hóa học.

b) Tính khối lượng chất rắn sinh ra.

c) Tính nồng độ mol của chất còn lại trong dung dịch sau phản ứng. Cho rằng thể tích dung dịch thay đổi không đáng kể.

Giải :

a)

Hiện tượng: xuất hiện kết tủa trắng tạo thành (AgCl). 

PTHH: CaCl2 + 2AgNO3 ---> Ca(NO3)2 + 2AgCl↓ (1) 

b)

Ta có:

Số mol CaCl₂ :         $nCaCl_{2}=\frac{2,22}{111}=0,02$ (mol)

Số mol AgNO₃ :     $nAgNO_{3}=\frac{1,7}{170}=0,01$ (mol)

 PTHH                                 CaCl₂      +      2 AgNO₃     →       2AgCl ↓     +       Ca(NO₃)₂

  Tỉ lệ:                                   1                          2                      2                          1        

 mol ban đầu:                    0,02                       0,01

Theo PTHH thì CaCl₂ dư, AgNO₃ hết.

Vậy khối lượng kết tủa AgCl :       0,01. 143,5  =  1,435 g

c) Thể tích dung dịch sau phản ứng :   30 + 70 = 100 ml = 0,1 lit

số mol CaCl₂ dư : 0,02    -    0,005 = 0,015 mol

số mol Ca(NO₃)₂ :  0,005 mol

nồng độ mol của CaCl₂ :      $ C_{M}=\frac{0,015}{0,1}=0,15$ (mol/l)

nồng độ mol của Ca(NO₃)₂ :$ C_{M}=\frac{0,005}{0,1}=0,05$ (mol/l)

$\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2=90$

ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$

Đặt:$ \frac{x}{x+1}=a$

      $\frac{x}{x-1}=b$

$=>\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=90\\ a+b=2ab \end{matrix}\right.$

Từ đây tìm được $a, b$

Giải phương trình

a, $\sqrt{x^{2}-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^{2}+2x-3}$

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$

a/

ĐKXĐ: $x\geq 2$

PT $<=> \sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x-1)(x+3)}$

$<=> (\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3})=0$

Vì $\sqrt{x-2} \leq \sqrt{x+3}$

$=>\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}<0$

$=>\sqrt{x-1}-1=0$

$<=>x=2$

b/

ĐKXĐ: $x\geq \frac{2}{3}$

PT$ <=>\frac{4x+1-3x+2}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\frac{x+3}{5}=0$

$<=>(x+3)(\frac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\frac{1}{5})=0$

$=>\frac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\frac{1}{5}=0$  

( Do $x\geq \frac{2}{3}$ =>$x+3>0$)

$=>\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}=5$

$=>x=2$

Cho 2015 số thực dương a_1,a₂,.......,a₂₀₁₅ thỏa mãn

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$

Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử 2015 số thực đã cho không tồn tại 2 số bằng nhau.

Giả sử: $ a_{1} < a_{2}<a_{3}<......<a_{2015}$

$=>$     $a_{1}\geq 1 ; a_{2}\geq 2 ; a_{3} \geq 3;....; a_{2015} \geq 2015$

$=>$     $ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}}$ (1)

Lại chứng minh được bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}} <2\sqrt{2015}-1<89$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}<89$

---> Trái với giả thiết.

=> Điều giả sử là sai.

Vậy trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$

Đặt $a=\sqrt{2}+\sqrt{7}$

Tìm đa thức $f(x)$ và $g(x)$ sao cho $f(a)-\sqrt{2}g(a)=0$

Tức là, a là nghiệm của phương trình: $f(x)-\sqrt{2}g(x)=0$

Xét tích: $(x-\sqrt{7}-\sqrt{2})(x-\sqrt{7}+\sqrt{2})=x^2-2\sqrt{7}x+5$

=> a là nghiệm của PT: $x^2-2\sqrt{7}x+5=0$

$=>a^2-2\sqrt{7}a+5=0$

$=> \frac{a^2+5}{2a}=\sqrt{7}$

Mặt khác: $\sqrt{2}=a-\sqrt{7}=a-\frac{a^2+5}{2a}=\frac{a^2-5}{2a}$

Từ đó chọn: $f(x)=x^2-5$

                      $g(x)=2x$

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh

$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt  

Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!

$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .

Chứng minh rằng:  $x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta có:

$(x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha )^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1+2sin^2\alpha +sin^22\alpha )$

$=65.(1+2sin^2\alpha +4sin^2\alpha cos^2\alpha )$

$=65.[1+2sin^2\alpha (1+2cos^2\alpha )]$

$\leq 65.[1+\frac{(2sin^2\alpha +2cos^2\alpha +1)^2}{4}]=\frac{845}{4}$

$=>($x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha\leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$

Dấu "=" xảy ra $<=>$

$\left\{\begin{matrix} \alpha =\frac{\pi }{3}\\ x=2\sqrt{5} \\ y=\sqrt{30} \\ z=\sqrt{15} \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .

Chứng minh rằng:$x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2-3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2y-y^2}=0\\ y^3-x^3+2+3x-3y^2=0 \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x+y+z=2015$.

Chứng minh rằng:

$\sum \frac{2015x-x^2}{yz}+6\geq 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{\frac{2015-x}{x}}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$