Cho $0\leq a,b,c\leq 2,a+b+c=3$, .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

 

           $P=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$

AD: bất đẳng thức phụ : $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow$ $P^2\leq 3(a+1+b+1+c+1)$

$\Rightarrow$ $|P|\leq 3\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ $P\leq 3\sqrt{2}$

$Ine\Leftrightarrow \sum a^4c\geq \sum ab^2c^2$.

Đúng theo $a^4c+ab^2c^2+ab^4\geq ^{AM-GM} 3a^2b^2c$

áp dụng bđt AM-GM có $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\geq \sum \frac{1}{a}$

??? co hieu nham o cho gach do

GPT ta thấy pt có n^o lần lượt là -1;0;1 => pt có 3 n^o thực....                .

Giải cho vui chắc sai     

ĐK: $x\geq 0$

Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}=x\sqrt{x}$

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}=x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow$ $x(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-1}-\sqrt{x})=0$

Tìm các số tự nhiên 2<x<y<z<t<u thỏa mãn

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}=1$

bài này ta xét theo các trường hợp với : $x=3,x=4,x=5,x=6$

hoặc bạn có thể đọc thêm trong Tạp Chí THTT năm 2001

Nếu rk thì với $\forall$ x $\geq$ -2 phương trình luôn có nghiệm....

bạn đọc kĩ đề giùm

Đúng rồi mà bạn, đằng trước có dấu trừ nữa

sory nhầm .........hi

cho a,b,c là các số thực dương sao cho a+b+c=3. chứng minh rằng $\sum \frac{a+1}{1+b^2}\geq 3$

Có :$\frac{2}{1+b^{2}}\geq 2-a$

$\Rightarrow$  $\frac{2(a+1)}{1+b^2}\geq (a+1)(2-b)$

Thiết lập tượng tự ta có : 

$ab+bc+ca\leq 3$

đến đây chắc ok

Ta có: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\geq 0$

Áp dụng bđt AM-GM ( Cauchy ) ta có: 

           $\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{1+b^2}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

           $\Rightarrow \sum \frac{a+1}{1+b^2}\geq 3+a+b+c-\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2}= 3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\geq 3$

ngược dấu bạn ơi!

Cho $0<x,y,z<1:$ cmr.

$(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{64xyz}$

có đk ckj của x,y ko.........??? Chẳng hạn x,y tự nhiên or ..??

không bạn

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm $x,y$ tm:

$x^3+7=4y(y+1)$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm $x,y,z$ tm.

$x^3+y^3=7z^3$

Bài này dùng AM-GM hình như ngắn gọn hơn thì phải

nhưng mà cái khai triển thì lợi hại quá 

@cái công phá ngoặc làm mình cảm thấy chán rồi

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Chứng minh rằng $A_n=8^n+6$ là bội số của $7$ với mọi số tự nhiên $n=1,2,3,...$

$\boxed{\text{Bài 1}}$
 
Khi cho $Br_2$ phản ứng vừa đủ với dung dịch $NaI.$ Phản ứng xảy ra xong thấy khối lượng muối trong dung dịch bị giảm $0.705g.$ Tính khối lượng $NaI$ phản ứng ?

Spoiler

 Mọi người ơi giúp em bài này với ạ! em xin cám ơn trước ......  hi

mới tìm thấy cái bài này nhưng cái  ý tưởng ban đầu giống  mình và cái cách làm bên dưới dài sợ thật.  

 

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

 

oh ! thanks you

Em có ý này:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a}{5b+c^3} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^3b+b^3b+c^3a)+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \geqslant \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$$

Vì vậy mà ta cần chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

Đặt $(p,q,r)=(a+b+c=3, ab+bc+ca, abc)$. Bất đẳng thức trở thành:

$$(3-p)(3p^2+5p+51) \geqslant 9[(r-1)(r+1)+3(3-qr)]$$

 

Đến đây có lẽ dễ đánh giá.

P/s: Mới coi lại hướng này thấy không ổn cho lắm.

cách của bạn  hay thiệt ......... nhưng mình còn một ý tưởng mà đến đó thì không biết làm........mong m.n chỉ giáo.

Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Ta có:$\sum\frac{a^2}{a(5b+c^3)}\sum a(5b+c^3)\geq (a+b+c)^2$

$\to \frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)+(ac^3+ba^3+cb^3)}\geq\frac{1}{2}$

vậy thì làm sao nữa ạ?!

mong chị xem lại

 

U-Th

Hình như chỗ đỏ đó chỉ là $ R^{+}$ thôi nhé ! 

đề bài là R+ hay hơn

Thứ nhất nếu $\mathbb{R}$ thì chưa chắc Scwarz được mà Schwarz cũng chả đúng.

Thứ 2 $a^3+2 \ge 3a$ thì mẫu bị ngược dấu.

sorry m.n.........em viết nhầm đề ......đã sửa

Ta có: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{a+b+c}{2}$ 

Lại có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

$\rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=\frac{1}{2}$

thì như trên mà?

Cho $a,b,c$ không âm  thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=2+3abc$. Tìm GTNN của biểu thức $T=a^2+2014b^2+2015c^2$

tương tự bài 18

Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. CMR:

$\frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

$(\frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})^2=\sum\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

giờ ta sẽ CM:

$\sum\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq\frac{9}{4}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

mà : $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\leq a+b+c$

$\to$ ĐPCM

Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ đi một chữ số thì số đó giảm đi $15$ lần.

Spoiler

2015  

bạn giải câu nào v?

bạn không nhìn câu 1 à........ cái đó bạn thay cái chỗ phần cuối đó vào cái đầu là ok

chứng minh làm sao v bạn?

chứng minh làm sao v bạn?

đồng dạng