$Cho \Delta ABC có \widehat{ABC}> 90^{^{o}}, trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \widehat{CBN}=\widehat{CAM}, BN cắt AM tại I. Từ N kẻ đường thẳng song song BC cắt AM tại K, cắt AB tại P. CP cắt MN tại H. Chứng minh rằng IH.CP=IP.HC$

Ta có: $n(n-1)2^{n-2}=\sum_{k=0}^nC_n^k.k.(k-1)2^{k-2}.(-1)^{n-k}$.

Kí hiệu: $p_k=C_n^k.k.(k-1)2^{k-2}.(-1)^{n-k}\text{  }\forall k=\overline{0,n}$

$(3)p_2=C_n^2.2.1.2^{n-2}$

Xin lỗi nhưng mình vẫn chưa hiểu chỗ này một chút

Phải là $p_{2}=C^{2}_{n}.1.2.2^{2}$ chứ sao lại là $2^{n-2}$

Bạn hiểu sai ý rồi. Biểu thức $S$ cần tìm chính là phần $\sum$ bên vế phải. Còn vế trái chính là công thức tổng quát cần tìm theo $n$ của biểu thức $S$.

Nhưng nếu bạn thay k=1, 2, 3,..., n thì sẽ ko phải là biểu thức của đề bài nữa

Ta có: $(x-1)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}x^{k}(-1)^{n-k}$.

$\implies [(x-1)^n]'=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}.k.x^{k-1}.(-1)^{n-k}$.

$\implies [(x-1)^n]''=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}.k.(k-1)x^{k-2}.(-1)^{n-k}$

$\iff n.(n-1).x^{n-2}=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}.k.(k-1)x^{k-2}.(-1)^{n-k}$.

Thay $x=2\implies S=n(n-1).2^{n-2}$

Nhưng nếu tính  như thế sẽ phải là $S= 2.1.2^{0}+3.2.2^{1}+...+n.(n-1).2^{n-2}$ chứ ko phải đề bài như trên bạn ạ

Tính $S=2.1.C\begin{matrix} 2\\ n \end{matrix}.2^{n-2}-3.2.C\begin{matrix} 3\\ n \end{matrix}.2^{n-3}+...+(-1)^{n}.n.(n-1).C\begin{matrix} n\\ n \end{matrix}$

Tính $S=\frac{(C\begin{matrix} 1\\ n \end{matrix})}{1}^{2} + \frac{(C\begin{matrix} 2\\ n \end{matrix})}{2^{2}}^{2}+...+\frac{(C\begin{matrix} n\\ n \end{matrix})}{n^{2}}^{2}$

Cho $a, b, c \epsilon R$: $ab+bc+ca+2abc=1$. Tìm min: $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$

Cho  tứ diện $OABC$ có 3 góc tại $O$ vuông. Gọi H là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $(ABC)$, $P$ là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC

Chứng minh: $\frac{PA^{2}}{OA^{2}}+\frac{PB^{2}}{OB^{2}}+\frac{PC^{2}}{OC^{2}}=1+\frac{OP^{2}}{OH^{2}}$

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài bằng 1. Lấy điểm $E\epsilon AA'$ sao cho $AE=\frac{1}{3}$. Lấy điểm $F\epsilon BC$ sao cho  $BF=\frac{1}{4}$. Tìm khoảng cách từ $B'$ đến mặt phẳng $(FEO)$ ($O$ là tâm hình lập phương)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm $I(\frac{-29}{6};\frac{-17}{6})$. Gọi M là trung điểm AC, P là trung điểm AM. Phương trình đường thẳng $BM: 3x+4y-1=0$. Phương trình đường thẳng $BP: 13x+22y-23=0$, Tìm tọa độ A, B, C

Cho A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác thoả mãn

$\frac{cos^{2}A}{sinB.sinC}+\frac{cos^{2}B}{sinA.sinC}+\frac{cos^{2}C}{sinB.sinA}=\frac{1}{3}.\frac{sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C}{cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C}$

Xác định A, B, C

Mình sẽ giải trường hợp 7,9 đứng cạnh nhau. Trường hợp còn lại bạn giải tương tự nhé

Có $2!$ cách sắp xếp 2 chữ số 7 và 9 cạnh nhau

Chữ số 7 và 9 luôn đi liền với nhau nên ta coi như 1 chữ số X. Ta tìm số các số có 6 chữ số ( nhất định phải có x) trong tập hợp ${0,1,2,3,4,5,6,8,x}$.

Sau đó nhân kết quả trên với 2! chính là kết quả cần tìm

Diện tích ABC bằng 90=> AI.IB=90.

Viết đc phương trình AI=> Tham số A

Tham  số B theo pt BC=> hệ:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{EB}\\ AI.IB=90 \end{matrix}\right.$

Bài này tìm Max chứ bạn 

Chắc mình chép nhầm đề. Nếu là max thì dễ giải r

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', Tìm các điểm M trong lăng trụ sao cho sao cho mặt phẳng bất kì đi qua M cắt các cạnh bên của lăng trụ sẽ chia lăng trụ thành 2 phần có thể tích bằng nhau

Cho a, b, c>0 sao cho $a+b+c=1$. Tìm min $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{abc}$

Cho a, b, c sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{4}{a+b-c}$

Tìm min $P=(a^{5}+b^{5}+c^{5})(\frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{b^{5}}+\frac{1}{c^{5}})$

Tính tổng $S=\frac{-C^{1}_{n}}{2.3}+\frac{2.C^{2}_{n}}{3.4}+\frac{-3.C^{3}_{n}}{4.5}+...+\frac{(-1)^{n}.n.C^{n}_{n}}{(n+1).(n+2)}$

Cho khai triển: $(1+x+x^{2}+...+x^{11})^{10}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{110}x^{110}$

Chứng minh: $C^{0}_{11}.a_{0}-C^{1}_{11}.a_{1}+C_{11}^{2}.a_{2}-C^{3}_{11}+...+C_{11}^{10}-C^{11}_{11}=11$

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1} (C)$. Tìm hệ só góc k của đường thẳng (D0 đi qua $M(-1;2)$ sao cho d cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi $k_{A}$, $k_{B}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B. Tìm k để $k_{A}+\frac{1}{k_{B}}$ min

1) $y'=4x^{3}-4(1-m^{2})x

y'=0=> x=0 hoặc x=1-m^{2}$

Để hàm số có 3 cực trị =>$y'=0$ có 3 nghiệm phâm biệt => $-1\leq m\leq 1, m khác 0$

=> 3 điểm cực trị: $A(0, m+1)$, $B(\sqrt{1-m^{2}}; -m^{4}+2m^{2}+m)$; $C(-\sqrt{1-m^{2}}; -m^{4}+2m^{2}+m)$;

Gọi H là trung điểm BC=>  $H(0; -m^{4}+2m^{2}+m)$

$S_{ABC}= \frac{1}{2}. AH.BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{1-m^{2}}.\begin{vmatrix} -m^{4}+2m^{2}-1 \end{vmatrix}=\sqrt{1-m^{2}}.(1-m^{2})^{2}$

Để $S_{ABC}$ lớn nhất=> $(1-m^{2})$ lớn nhất <=> m=0

Mình xét hàm đó mà

Xét hàm kiểu gì bạn?

$\frac{x+3}{M_1}>\frac{x+1}{M_1}>\frac{x+1}{M_2}$

Với $x\geq 0$ thì M1>M2 mà

Sao có thể suy ra $\frac{x+1}{M1}> \frac{x+1}{M2}$ được

Xin lỗi, mình hơi nhầm 1 chút

$n(\Omega )=10^{5}$

Gọi A là biến cố : trên vé không có chữ số 1=> $n(A)= 9^{5}$

Gọi B là biến cố : trên vé không có chữ số 5=> $n(A)= 9^{5}$

$P=1-P(A).P(B)$

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

Thay x+1-y=0 vào pt 1. Chứng minh vế còn lại dương với $x\geq 0$ như thế nào?