Cho ba số $m,n,p$thỏa mãn:
$m^2+n^2= \frac{m^2}{n^2}+ \frac{m^2}{n^2}+ \frac{m^2}{p^2}=2$và $\frac{p^2}{n^2}+ \frac{p^2+n^2}{m}+ \frac{n^2}{p^2}=4$
Tính $Q=m^2+m^3+p^4$

xem lại chỗ màu đỏ đi bạn

cách khác

đặt $f(x)=ax^{2}+bx+c$

$B-3=\frac{4a-2b+c}{b-a}= \frac{f(-2)}{b-a}\geq 0$ vì $f(x)\geq 0$ vs mọi x và b>a

$\Rightarrow B\geq 3$

Cho a,b > 0 và $a+b\geq 2$

Chứng minh: $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$

$2\left ( a^{3}+b^{3} \right )\leq \left ( a+b \right )\left ( a^{3} +b^{3}\right )= a^{4}+b^{4}+ab\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq a^{4} +b^{4}+\frac{\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}}{2}\leq 2\left ( a^{4}+b^{4} \right ) \Rightarrow a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$

Bài 17: Giải các phương trình sau:

c) $(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^{2}$

d) $(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4$

c,$\left [ \left ( x+4 \right )\left ( x+6 \right ) \right ]\left [ \left ( x-2 \right )\left ( x-12 \right ) \right ]= 25x^{2}\Leftrightarrow \left ( x^{2}+10x+24 \right )\left ( x^{2} -14x+24\right )= 25x^{2}$

x=0 ko là nghiệm

x khác 0 chia cả 2 vế cho x^2 có $\left ( x+\frac{24}{x}+10 \right )\left ( x+\frac{24}{x} -12\right )=25$

đến đây dặt $y= x^{2}+\frac{24}{x}-1$ là ra

d,$\left [ \left ( 4x+1 \right )\left ( 3x+2 \right ) \right ]\left [ \left ( 12x-1 \right ) \left ( x+1 \right )\right ]= 4\Leftrightarrow \left ( 12x^{2} +11x+2\right )\left ( 12x^{2}+11x-1 \right )=4$

đặt ẩn phụ $y= 12x^{2}+11x-1$ đưa về pt bậc 2

câu 16d $PT\Leftrightarrow3 \left ( x-1 \right )\left ( x+4 \right )\left ( x^{2} -x-4\right )=0$

câu 16b

$PT\Leftrightarrow \left ( x^{2}-6x-9 \right )^{2}-4x^{2}=x^{3}-4x^{2}-9x$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-4x-9 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x-9 \right )=x\left ( x+1 \right )\left ( x-9 \right )$

đến đây dễ

Mình làm như thế này không biết đúng không:

$x^{2}=5+2y$

Xét x chẵn pt vô nghiệm

Xét x lẻ $\Rightarrow x=2k+1$ ; $(k\epsilon \mathbb{Z})$

$4k^{2}+4k+1=5+2y$

$\Leftrightarrow 4k^{2}+4k-2y=4$

$\Leftrightarrow$$2k^{2}+2k-y=2$

Suy ra y lẻ trái với giả thiết

Do đó pt trên không có nghiệm nguyên 

là sao@@

Chứng minh phương trình $2x^2-4y=10$ không có nghiệm nguyên 

bạn xem lại đề bài đi. pt có nghiệm x=3,y=2 mà

 

Câu 2(2đ): Cho tam giác nhọn ABC. Từ điểm M trên đoạn BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC để tạo thành 1 hình bình hành. Tìm điểm M sao cho diện tích hình bình hành nhỏ nhất.

 

kẻ đt // vs AB,AC cắt AC,AB tại E,F

đặt $S_{ABC}=S,S_{BMF}=S_{1},S_{CME}=S_{2}$,$S_{AEMF}=S_{3}$

dễ dàng có $\frac{S_{1}}{S}=\frac{BM^{2}}{BC^{2}},\frac{S_{2}}{S}=\frac{MC^{2}}{BC^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{1}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}=1\Rightarrow \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}$

$S_{1}+S_{2}\geq \frac{\left ( \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}} \right )^{2}}{2}=\frac{S}{2}$

$\Rightarrow S_{3}\leq \frac{S}{2}$

đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC=>KL

Tìm GTLN của A=$\frac{x+1}{x^{3}+2x^{2}-4x-5}$

bạn xem lại đề bài xem. vì nếu x^2+x-5 dương nhưng càng nhỏ thì A càng lớn => k có max A

CẦN GÌ $x$ NGUYÊN ĐÂU BẠN
 Ta có: $A =\frac{x+1}{x^3+2x^2-4x-5} =\frac{x+1}{(x+1)(x^2+x-5)} =\frac{1}{(x^2 +x +\frac{1}{4}) -\frac{21}{4}} =\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{21}{4}}$
$\Rightarrow A \leq -\frac{4}{21}$
 Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x =-\frac{1}{2}$

sai r nhé. nếu x^2+x-5>0 thì A>0

(nguyên nhân là do chia cho mẫu âm nhưng k đổi dấu)

cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & & \\ x^{5}+y^{5}=3^{x}-5m& & \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

ai tìm giùm e dấu "=" xảy ra khi nào cái

ra $\frac{-\sqrt{14}-2}{2}\leq P\leq \frac{\sqrt{14}-2}{2}$ thì nản wa ak

với $m=1$ thì $\sqrt{7}n>\sqrt{7}>2=m+\frac{1}{m}$ do đó ta xét với $m>1$

từ giả thiết 

$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow 7n^2>m^2\Rightarrow 7n^2\geq m^2+1$

dễ thấy 

$m^2\equiv 0,1,2,4(mod\ 7)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+1\not \vdots 7\\ m^2+2\not \vdots 7 \end{matrix}\right.$

do đó ta có $\left\{\begin{matrix} m^2+1=7n^2\\m^2+2=7n^2 \end{matrix}\right.$ là điều không thể xảy ra 

$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3>(m+\frac{1}{m})^2\Rightarrow \sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Rightarrow Q.E.D$

 

U-Th

Cách 2

$mn=1\Leftrightarrow m=n=1\Rightarrow$bđt hiển nhiên đúng

$mn\geq 2$

từ gt $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0\Rightarrow m< n\sqrt{7}\Rightarrow m\leq \left [ n\sqrt{7} \right ]=2n$

$\Rightarrow 2-\frac{m}{n}\geq 0,\left ( \sqrt{7}-2 \right )-\frac{1}{mn}> \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

=>Q.E.D

vừa post bài lên phát thì nghĩ ra luôn  . diễn đàn mk đúng là có điều kì diệu 

cho m,n nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> 0$
Chứng minh $\sqrt{7}-\frac{m}{n}> \frac{1}{mn}$

cho $2x^{2}+5y^{2}+2xy=1$

Tìm max, min của $P= \frac{x-y}{x+2y+2}$

cho a,b,c dương . chứng minh   $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{ab}+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{bc}+\frac{\left ( c+a \right )^{2}}{ab}\geq 9+2\left ( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right )$

chứng minh rằng phương trình : $2^{x}-3=65y$ không có nghiệm nguyên

gs pt có nghiệm nguyên (x,y)

$65y\vdots 65\Rightarrow 2^{x}-3\vdots 65\Rightarrow 2^{x}$ chia 5 và 13 đều dư 3

sd chu kì tuần hoàn có $2^{x}\equiv 3 (mod5)\Rightarrow x\equiv 3(mod4)$ (1)

                                     $2^{x}\equiv 3\left ( mod13 \right )\Rightarrow x\equiv 4(mod12)$(2)

(1), (2) => vô lí 

vậy pt ko có nghiệm nguyên

em giải k ra câu hệ có thánh nhân nào GỢI Ý giúp em với.

$(*)\Leftrightarrow \left ( x+y-2 \right )\left ( 2x-y-1 \right )=0$

đến đây ok r

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua I và vuông góc với CI theo thứ tự cắt các cạnh CA,CB tại M,N.

a,Cm các tam giác AMI,AIB và INB đôi một đồng dạng

b,Cm $BC.AI^{2}+CA.BI^{2}+AB.CI^{2}= AB.BC.CA$

ps : mình chỉ cần câu b thôi, các bạn k cần giải câu a

 

Câu 53: Cho 3 số thực $a,b,c$ sao cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$.

Tìm GTLN: $P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

 

pt có 2 nghiệm => a khác 0

=> $P= \frac{\left ( 1-\frac{b}{a} \right )\left ( 2-\frac{b}{a} \right )}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$ (chia cả tử và mẫu của P cho a^2 khác 0)

theo định lí vi-et có $m= x_{1}+x_{2}= \frac{-b}{a},n=x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$ (với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình)

$P= \frac{\left ( 1+m \right )\left ( 2+m \right )}{1+m+n}= 3+\frac{m^{2}-3n-1}{m+n+1}$

gs $x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow x_{1}^{2}\leq x_{1}x_{2}$

do $x_{1},x_{2} \in \left [ 0;1 \right ]$$x_{2}^{2}\leq 1$

$\Rightarrow m^{2}-3n-1= x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}-1\leq 0$

$\Rightarrow P\leq 3$

 

Câu 54: Cho $x_1,x_2,x_3$ là 3 nghiệm của phương trình $x^3=3x-1$. Tính $x_1^2+x_2^2+x_3^2$

 

$x^{3}=3x-1\Leftrightarrow x^{3}-3x+1=0$

áp dụng hệ thức Vi-et có $\sum x_{1}=0,\sum x_{1}x_{2}=-3\Rightarrow \sum x_{1}^{2}=\left (\sum x_{1} \right )^{2}-2\sum x_{1}x_{2}=0-2(-3)=6$

Bài toán 18

cho x,y là các số thực khác 0. tìm gtnn của  $P= \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

Bài giải

$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}= \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}$ (áp dụng bđt  $a^{2}+b^{2}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2}$)

=>$P\geq \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}.\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}}= 2\sqrt{2}$

dấu "=" xảy ra khi x=y

 bài giải trên có vấn đề gì không?

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+9= 6a+4b$. Chứng minh rằng $7\leq 3a+4b\leq 27$

Đẳng thức xảy ra khi nào

trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy có 2 điểm A,B tùy ý thuộc parabol y=x^2 (A,B khác O) sao cho OA vuông góc với OB. 

cmr đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định