câu b đi cậu Nhân 

thằng quân mà .__.

bài này m với thằng hưng ra rồi mà quân?  

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$, ta cần chứng minh: $\left(\dfrac{1}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{ab+bc+ca+a^2}\right)(a-b)(a-c)\geqslant 0$

hay viết ngọn lại là $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b) \geqslant 0$. Do $a\geqslant b\geqslant c$ nên $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$

Do đó $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)\geqslant (a-b)(b-c)(x-y)\geqslant 0$

bạn có thể làm sáng tỏ chỗ này được k?

Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}$ và $z=\dfrac{1}{c}$ thì ta có $ab+bc+ca+abc=4$ hay có thể đặt $a=\dfrac{2a}{b+c}, b=\dfrac{2b}{c+a}, c=\dfrac{2c}{a+b}$

Bất đẳng thức trở thành: $a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+b)\geqslant 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(b-c)(a-c)\geqslant 0$

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức đúng.

sao bạn có thể nghĩ ra cách đổi biến thỏa mãn điều kiện bài toán hay như vậy?

Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x+y+z+1=4xyz. CMR

$xy+yz+zx\geq x+y+z$

mong bạn xem lại đề ở đoạn tạo ra $I,J$

mình vẽ thấy nó không đồng quy

 

U-Th

mình đã chứng minh được $EF$ , $AD$ , $BC$ đồng quy nhưng mình không chắc $IJ$ có đi qua điểm đồng quy ấy không. Mình lại không biết vẽ bằng geobra nên vẽ tay tương đối để chứng minh có thể không chính xác lắm, bạn có thể giúp mình vẽ cụ thể bằng geobra rồi post lên đây được không? Cảm ơn bạn.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$ . Tiếp điểm của $(O)$ trên $AB$ , $BC$, $CD$, $DA$ lần lượt là $M$, $N$, $P$, $Q$. $MN$ cắt $PQ$ tại $E$, $MQ$ cắt $PN$ ở $F$, $EB$ cắt $FA$ ở $I$, $ED$ cắt $FC$ ở $J$. Chứng minh rằng $EF$ ,$AD$, $BC$, $IJ$ đồng quy

Tìm tất cả các hàm f:Z->Z thỏa mãn:

$f(2m+f(m)+f(m)f(n))= nf(m)+m$

Cho $\Delta ABC$ nhọn. Trực tâm H. AH cắt BC tại D. Trên đoạn AH lấy E sao cho $\angle BEC$ =90. M là trung điểm EH. Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn Euler của $\Delta ABC$ tại P, Q. CMR PQ đi qua E.