Cho $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \geq 0, x_{1}+x_{2}+...+x_{n} = (n-1)^{2}$, $n \in N^{*}$

Chứng minh rằng  $ M=\sqrt{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n - 1}} + \sqrt{x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}} + ... +\sqrt{x_{n} + x_{1}+ ... +x_{n-2}} \geq (n-1)^{2}$

 Gọi S(x) là tổng các chữ số của x. Tìm giá trị lớn nhất của x thỏa mãn x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2016

Câu 2.2

$x^{4} + 2x^{2} = y^{3} \Leftrightarrow x^{4} + 2x^{2} -y^{3} = 0$ (*) (phương trình theo ẩn x)

 

TH1: x = 0 ta có y = 0

TH2:$x\neq 0$

Đặt $x^{2} = t$ (t > 0)

 

Phương trình (*)  $\Leftrightarrow t^{2} +2t - y^{3} = 0$

Theo hệ thức Viète, ta có:

$t_{1} + t_{2} = -2$

 

Mà  $t_{1} >0, t_{2} >0$ => Vô lí

 

Vậy ta có x = 0, y = 0 là cặp thỏa mãn duy nhất.

 

P/s: Không biết lỡ tay ghi nhầm $t_{1}t_{2} = y^{3}$ có bị trừ điểm không mọi người ?

Mọi người cho em hỏi câu nghiệm nguyên của đề SP năm nay làm như thế nào thế, e đi thi chặn miền thấy nó vô nghiệm mà hôm nay hỏi một bạn ở tỉnh thấy ra được nghiệm mà không hiểu vì sao. Mong được giải đáp để lỡ may gặp lại còn biết cách làm

Cho $x , y \in N^{*}$ sao cho $x^{2} + y^{2} + 6 \vdots xy$. Tính $\frac{x^{2} + y^{2} + 6}{xy}$

 Mọi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được tô cùng màu.

Cho $ 0 < a  <1$, tìm giá trị lớn nhất của P = $a(1-a^{2})$

Đề có thiếu điều kiện a,b,c đôi một khác nhau ko?
Vì nếu lấy a=b=c=p , p nguyên tố thì vẫn thỏa mãn giả thiết

Mình quên mất, 3 số này phải thoả mãn đôi một khác nhau

Cho 3 số $a ,b ,c \in N^{*}$ đôi một phân biệt thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} (b + c + bc) \vdots a \\ (c + a + ca) \vdots b \\ (a + b + ab) \vdots c \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng 3 số $a, b, c$ không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Tồn tại hay không 2016 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc tù ?

Cho a, b > 0 thỏa mãn $ab + 4 \leq 2b$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{ab}{a^{2} +2b^{2}}$

 Cho đường tròn (O), dây AB cố định không phải là đường kính. Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. M và N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB và AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh khi điểm C di động trên cung lớn AB, tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác NAH và NBH có giá trị không đổi.

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, M, S cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA, tam giác MBC đồng dạng tam giác BCN,

c) Chứng minh khi E di chuyển trên cung nhỏ BC, đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

(Đề dự bị vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Nội 2014 - 2015)

 

Cho a, b, c, d là các số tự nhiên thỏa mãn $(a+c)^{2} + 2c = (b+d)^{2} +2d$. Chứng minh rằng

$\left\{\begin{matrix}a = b \\ c = d \end{matrix}\right.$

 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F. Chứng minh khi E di chuyển trên cung nhỏ BC, đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Bài này tìm min chứ bạn, mình bấm máy không ra max, chỉ ra min là $\frac{1}{2}$ thôi

 

_____________________________________________

 

 

Áp dụng AM-GM có

$yz\leq\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(1-x)^2}{4}$

Suy ra

$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq\frac{x^3}{x^2+\frac{(1-x)^2}{4}}=\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}$

Lại có

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}$

$=\frac{(3x-1)^2(1-x)}{4(4x^2+(1-x)^2)}\geq 0$

Suy ra

$\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}$

Tương tự rồi cộng lại có

$P=\sum\frac{4x^3}{4x^2+(1-x)^2}\geq\frac{5}{4}\sum x-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy 

$MinP=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

Mình cũng đang thắc mắc sao đề lại ghi là max chứ không phải min vì bài này mình lấy ra từ đề dự bị của chuyên Hà Nội 2014- 2015

Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x +y + z = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{x^{3}}{x^{2} +yz} + \frac{y^{3}}{y^{2} +zx} + \frac{z^{3}}{z^{2} +xy}$

Tìm số nguyên dương n để $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là số hữu tỉ

à quên mất

đọc đề không kĩ

vậy câu b làm thế nào 

 

Lấy K đối xứng  qua BC, dễ dàng chứng minh N, K, E thẳng hàng.

 

Lấy J, I lần lượt đối xứng H qua AB, AC => I, J nằm trên (O) và tứ giác MHJN cùng tứ giác MHIE là hình thang cân => Tứ giác MHJN và tứ giác MHIE đều là tứ giác nội tiếp => $\widehat{EHI}$ = $\widehat{MIH}$ (tính chất hình thang cân MHJN) = $\widehat{MAB}$. Tương tự $\widehat{NHJ}$ = $\widehat{MJH}$ (tính chất hình thang cân MHIE) = $\widehat{MAC}$

 

=> $\widehat{NHJ}$ + $\widehat{EHI}$ + $\widehat{JHI}$ = $\widehat{MAC}$ + $\widehat{MAB}$ + $\widehat{IHJ}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{IHJ}$ = 180

 

=> N, H, E thẳng hàng.
 

Bài BĐT:

Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}.$$

 

$\frac{x}{2x + y + z} \leq \frac{x}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z})$

 

$\frac{y}{x + 2y + z} \leq \frac{y}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z})$

 

$\frac{z}{x + y + 2z} \leq \frac{z}{4} (\frac{1}{z + y} + \frac{1}{ z+ x})$

 

Cộng vế với vế lại, ta có:

 

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. AI cắt đường phân giác ngoài của góc ABC tại K, cắt đường tròn (O) tại D.

1) Chứng minh rằng D là trung điểm của Ị.

2) Giả sửa AB + AC = 2 BC. Chứng minh IG // BC với G là trọng tâm tam giác ABC.

 

 

Ai giúp mình phân tích, tìm hướng đi cho bài toán này. Sách giải như thế này, mình không hiểu đoạn đầu. 

 

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để đánh giá, tham khảo tại đây:

http://diendantoanho...attach_id=24544

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

 

Chú ý: Áp dụng đường thẳng Simson, ta có 3 điểm K, F, D thẳng hàng với K, F, D lần lượt là hình chiếu của M trên AB BC, CA

 

Dễ dàng chứng minh tứ giác MKBF là tứ giác nội tiếp => $\widehat{CBM} = \widehat{Đánh con mèo}$

                                  tứ giác MCDF là tứ giác nội tiếp => $\widehat{BCM} = \widehat{KDM}$

 

$\Rightarrow \bigtriangleup KDM \sim \bigtriangleup BCM \Rightarrow \frac{KD}{BC} = \frac{KM}{BM} , KM \leq BM \Rightarrow \frac{KD}{BC} \leq 1 => KD \leq BC \Rightarrow NE \leq 2BC$

 

Dấu đẳng thức xảy ra <=> M - đường kính đường tròn (O) hay A, O, M thẳng hàng (sorry vì trong hình quên mất vẽ điểm O)

 

P/s: Sao góc của mình trên hình tự sửa là Đánh con mèo vậy Mod

cm được BC là đường trung bình tam giác MNE=>BC//NE

tgBHC=tgECH(cgc)=>BHEC là hbh=>BC//HE

làm giúp mk câu c đi

 

BC sao là đường trung bình được, M đây là điểm bất kì mà (câu b hoàn toàn độc lập với câu a)

 

Nguồn: Tuyensinh247.com