Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.

Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$

Tìm MAX:

$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Cho $\left\{\begin{matrix} a>b>c\geq 0 & \\ 3ab+5bc+7ca\leq 9 & \end{matrix}\right.$

CMR: 

$\frac{32}{(a-b)^{4}}+\frac{1}{(b-c)^{4}}+\frac{1}{(c-a)^{4}}\geq \frac{22}{9}$

Cho $a,b,c>0$ và $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Lời giải của hanguyen445 sai vì bất đẳng thức $(*)$ không đúng. Bài này có thể chứng minh bằng Cauchy-Schwarz lúc trước có một bạn đã đăng lên diễn đàn và mình cũng có đăng một bài mạnh hơn của nó.

Còn link không anh ? 

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$

CMR:   $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{abc}{2}\leq 2$

Cho $a,b,c$ là các số thực .

Chứng minh :

$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}.\left [\frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b}\right ]$

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b+c+1=2abc$

Tìm gái trị nhỏ nhất của :

$P=\frac{ab}{a+b+1}+\frac{bc}{b+c+1}+\frac{ca}{c+a+1}$

Giá trị lớn nhất là $\frac18,$ anh có lời giải nhưng không phải của anh nên không post. Nó là đề thi của Hàn Quốc 2012.

(Cười) Em chỉ nói là hi vọng thôi. Nếu anh có lời giải không BW quá thì post cho mọi người mở mang tầm mắt ạ. 

Bất đẳng thức này không thể vận dụng bất cứ phương pháp cổ điển hay hiện đại nào để giải cả, vì nó sai. :v

Anh chỉ rõ hơn được không anh.

Bài 1: Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh:

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geqslant \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Bài 2: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh: 

$3(a+b+c)\geqslant 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})$

Bài 3: Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Chứng minh:

Tìm giá trị lớn nhất: $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:

$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$

Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé! 

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$                      

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \sqrt{\left [ 2\sum \left (a+b \right ) \right ]\left [ \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right ]}=\sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3$                                       (C-S & AM-GM)

Ừm hihi

ĐHV PlayESPN

Mình là PlanBbyFESN bạn ơi

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn  $x+y+z= 1$.

Chứng minh:

              $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+48(xy+yz+zx)\geq 25$

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant$$x+y+z$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=x+y+z$

 

$\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq  a^2+b^2+c^2$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$

Áp dụng Am-Gm:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$

(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

.................................

1,Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

Câu 1 đề là $a,b,c$ không âm 

 

Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng : 

                              $\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$

( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))

 

$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$

$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$

$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$

P/S: Có

Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq 1+\frac{1}{abcd+2}$

$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+2}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+2}\leq \frac{abcd+1+2}{abcd+2}=1+\frac{1}{abcd+2} \blacksquare$

$\begin{Bmatrix} 0\leq a,b,c,d\leq 1 & & \\ (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b & & \\ (c-1)(d-1)\geq 0\Leftrightarrow cd+1\geq c+d & & \\ (ab-1)(cd-1)\geq 0\Leftrightarrow abcd+1\geq ab+cd \end{Bmatrix}$

BQT làm thế là không đúng rồi nhé. tienduc chưa xứng đáng để làm ĐHV THCS, bạn ấy thường xuyên hỏi bài, chất lượng bài thấp, toàn bài dễ thôi. Có nhiều bạn cần được set hơn như: Mr Cooper, NHoang1608, Nguyenphuctang hay HoangKhanh2002.....

Đây là những thành viên thường xuyên giải các bài khó và đóng góp nhiều cho diễn đàn. Chưa xứng đáng, mong BQT xem xét lại

Điều hành viên không phải cứ như bạn nghĩ đâu bạn à. Ban Quản Trị là vì sự phát triển diễn đàn nên quyết định luôn là đúng đắn nhất. Bạn không có quyền phán xét ở đây, trong topic này! 

Bài toán: Cho $ a,b,c$ là ba cạnh của tam giác.

CMR:    $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}\geq \frac{(x+y+z)^3}{6xyz}$

Hic đề cho a, b, c  $\in \mathbb{R}$ hả chị? 

Đúng rồi bạn  

Bài toán: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca+1$

Tìm MIN:       $A=(ab+bc+ca)^{2}+6abc-a^{2}-b^{2}-c^{2}$

Bài toán: Với $a,b,c>0$

CMR:        $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$