cho a, b, c>0. cmr $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 12$

1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ có $H$ là trực tâm. $EF$ là một dây cung của $(O)$ song song với $BC$ sao cho $E,B$ nằm cùng phía đối với trung trực $BC.$ Đường thẳng qua $O$ song song với $AF$ cắt $AB$ tại $G.D$ là trung điểm $HE.$ Chứng minh $\widehat{CDG}=90^0.$

2. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,P$ di động bên trong tam giác sao cho $\widehat{BHC}= \widehat{BPC}.$ Đường thẳng qua $B$ và vuông góc $AB$ cắt $PC$ tại $M,$ đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$ cắt $PB$ tại $N.$ Chứng minh trung điểm của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a, AD=2a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa (SCD) và (ABC) bằng 60 độ. Gọi H,K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp KHCD.

cho tam giác ABC, 2 đường phân giác BE, CF. M là một điểm thuộc EF. Gọi H, L, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. cm: MH=ML + MK

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh BC=a cạnh AA'=2a. AA' $\perp$ BC và khoảng cách giữa AA' với B'C là $a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

y'= m + cosx + $\frac{1}{2}cos2x +\frac{1}{3}cos3x$

   = m+ cosx + $\frac{1}{2} (2cos^{2}x-1)+\frac{1}{3}(4cos^{3}x-3cosx)$

Đặt a= cosx

y tăng $\forall x\epsilon R$ <=> y' $\geq$ 0 $\forall x\epsilon R$

<=> m $\geq$ $\frac{-4}{3}a^{3}-a^{2}+\frac{1}{2} =g(a) \forall x\epsilon [-1;1]$

g'(a)=-4a²-2a(2a+1)=0 <=> a=$\frac{-1}{2} , a=0$

Lập Bảng biến thiên => Maxg(a) = g(-1)=$\frac{5}{6} \leq m$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = 11$

Tìm GTNN của $P = (x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

$\sum$ $\frac{1}{a+3b}$ + $\sum$ $\frac{1}{a+b+2c}$ $\geq$ $\sum$ $\frac{4}{2a+2c+4b}$ $=$ $\sum$ $\frac{2}{a+2b+c}$ $\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{1}{a+3b}$ $\geq$ $\sum$ $\frac{1}{a+2b+c}$
cách dễ hiểu =))

À không ý mình là bài

 

BÀI 86: (SƯU TẦM) Cho các số thực dương x,y,z thỏa: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = 11$

Tìm GTNN của $P = (x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

 liên quan gì với bài 

 

https://diendantoanh...c0/#entry681540

 ak. Cảm ơn bạn =)))

https://diendantoanh...c0/#entry681540

Bạn có thể giải thích rõ hơn được không? =)))

Cho tam giác ABC nhọn có $\widehat{BAC} = 60^{o}, BC= 2\sqrt{3} cm$. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách của chúng không lớn hơn 1cm

BÀI 105: (Sưu tầm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO và BC. CMR: $\frac{HB}{HC}+\frac{MB}{MC} \geq 2\frac{AB}{AC}$

BÀI 86: (SƯU TẦM) Cho các số thực dương x,y,z thỏa: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = 11$

Tìm GTNN của $P = (x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

1. Cho a, b, c dương thỏa: 6a+3b+2c=abc. Tìm GTLN: $B=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^{2}+9}}$

2. Cho các số a,b,c không âm. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}} \geq 2(ab+bc+ca)$

BÀI 82 (CTQN) (không nhớ năm nữa)

Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

1. Tìm a,b sao cho: $\frac{a^{2}+1}{a-1}.\frac{b^{2}+1}{b-1}\doteq \frac{1}{2}(ab+1)$

2.Tìm a, b, c, d biết rằng: 5$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) =(a+b+c+d+2)^{2}-20$

1. Với mỗi số tự nhiên n$\geq$3, gọi x_n là số đo góc ở đỉnh ( tính theo đơn vị độ ) của một đa giác đều n cạnh. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên m, n (m,n $\geq$ 3) sao cho

x_m-x_n=30ⁿ

2. Cho 3 số x, y, z $\epsilon$ [1;3]. Đặt $S_{n} =x^{n}+y^{n}+z^{n}$ với mỗi số nguyên dương n. CMR: nếu S₁$\leq$5 và S₂ $\geq$ 11 thì S_n = 3ⁿ +2 với mọi số nguyên dương n

Giải pt: $x^{3} +2 = 3\sqrt[3]{3x-2}$

BÀI 47:  (ĐỀ TOÁN CHUYÊN HCM-15-16)  

 Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện: $a+b\leq 1$

CMR: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq -\frac{9}{4}$

Thấy mấy bạn ở trên không đánh số  bài nên em xin phép đánh số tiếp từ bài 25           

BÀI 25: CMR: luôn tìm được 2 sô tự nhiên liên tiếp sao cho tổng của tất cả các chữ số của mỗi số trong chúng là bội số của 2017.

BÀI 26:  Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ 3 chữ số a,b,c thỏa mãn 2 số bất kì trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

BÀI 27: Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 3019. CMR: trong các số đó tồn tại ít nhất 4 số a,b,c,d sao cho: a+b+c=d

 

BÀI 11: Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ 3 chữ số a,b,c thỏa mãn 2 số bất kì trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

MÌnh thấy topic ngưng hoạt động khá lâu rồi, sau đây mình xin đóng góp một số bài như sau, mong các bạn chỉ giáo:     

1. CMR: luôn tìm được 2 sô tự nhiên liên tiếp sao cho tổng của tất cả các chữ số của mỗi số trong chúng là bội số của 2017.

2.  Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ 3 chữ số a,b,c thỏa mãn 2 số bất kì trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

3. Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 3019. CMR: trong các số đó tồn tại ít nhất 4 số a,b,c,d sao cho: a+b+c=d

4. Tìm các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa: $x^{3}+y^{3}+z^{3} = nx^{2}y^{2}z^{2}$

5. CMR: luôn tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho:

                     $0<|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}|\leq \frac{1}{1000}$

Bài 76(Chuyên Bến Tre 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O.Từ một điểm A nằm ngoài đường tron kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn (T,S là các tiếp điểm).Trên cung lớn TS lấy diem D sao cho $\angle TOD<\angle SOD<180$.Kẻ các đường cao TE,SF và đường trung tuyến DM cua tam giác TSD.

a)Chứng minh rằng:

 i)DE.TA=DT.TM

 ii) $\angle DOT=\angle ETM$

 iii)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA

b)Gọi N la giao điểm cua DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM

Lời giải bài 76:

a)

i) Dễ thấy: $\Delta TAM$ vuông tại M và: $\angle MTA =\angle TOM = \frac{\angle TOS}{2} = \angle TDE$

=> $\Delta DTE \sim \Delta TAM (g-g) \rightarrow \frac{DT}{TA} = \frac{DE}{TM}\rightarrow DT.TM=DE.TA$

ii) (bạn xem lại đề nhé)

iii) Dễ thấy: TM = ME = MS 

Có: $\widehat{DEM}=90^{o}+\widehat{TEM}=90^{o}+\widehat{ETM}=\widehat{TDE}+\widehat{DTE}+\widehat{ETM}=\widehat{DTM}+\widehat{MTA}= \widehat{DTA}$

=> $\widehat{DEM}= \widehat{DTA}$

mà: $\frac{DT}{TA}= \frac{DE}{TM}=\frac{DE}{EM} \Rightarrow \Delta DTA\sim \Delta DEM (c-g-c)$

b)Dễ thấy: EFTS nội tiếp => $\widehat{DEN} = \widehat{DTP}$ (1)

vì $\Delta DTA \sim \Delta DEM (c-g-c) \rightarrow \widehat{TND} = \widehat{NDE}$ (2)

và: $\frac{DT}{DE}= \frac{DA}{DM}$

Từ (1) và (2) => $\Delta DTP \sim \Delta DEN (g-g)\rightarrow \frac{DT}{DE}= \frac{DP}{DN} \rightarrow \frac{DP}{DN}= \frac{DA}{DM}$

=> NP//AM

BÀI 44: (ASM-CHUYÊN TOÁN - 2015)

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh:

                           $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Ta có $cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1$

$\Rightarrow \frac{1}{tanA.tanB}+\frac{1}{tanB.tanC}+\frac{1}{tanC.tanA}=1$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$

Ta có $tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$\Rightarrow tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)$

$\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(\Pi -C)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC$

mình có cách khác nah    

cotA=$\frac{AI}{BI} =\frac{AF}{FC}$

cotB=$\frac{BE}{AE} =\frac{BF}{FC}$

cotC=$\frac{CI}{BI} =\frac{CE}{AE}$

Có: cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE}+\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}+\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{FC}$

Có: $\frac{AF}{AE}= \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AI}{BI}.\frac{BE}{AE} =\frac{AH.BE}{AC.BI}= \frac{S_{BHA}}{S_{ABC}}$

tương tự có: $\frac{BF}{FC}.\frac{CI}{BI}= \frac{S_{BCH}}{S_{ABC}}$

                    $\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{CF}= \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}$

Cộng vế theo vế, có: 

cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=$\frac{S_{ABH}+S_{BCH}+S_{ACH}}{S_{ABC}} = 1$

=> ĐPCM

 Vì MNQP nội tiếp => $\angle$PQN = $\angle$PNQ =$\angle$QMP =$\angle$PMN

=> QP=PN

Có: $\angle$KPL = 90^o +$\angle$KML =90^o​ +$\angle$QMP

mà: $\angle$KPL=$\angle$QPN => $\angle$QPN=90^o​ +$\angle$QMP

Có: $\angle$QPN+$\angle$NPL=180^o

=> 90^o+$\angle$QMP+2$\angle$QMP=180^o => $\angle$QMP=30^o=> $\angle$KML=60^o

=> $\angle$QMN=120^o và $\angle$PQN =$\angle$PNQ=30^o

Vì QN = 2 => dễ tính QP=PN= $\frac{2}{\sqrt{3}}$