Bài này có thể giải bằng định lý Pascal
Vâng em cảm ơn, cơ mà em đang nghĩ đến cách sơ cấp nhất có thể, phù hợp với kiến thức lớp 9 thôi ạ
Có 237 mục bởi Sin99 (Tìm giới hạn từ 12-05-2020)
Đã gửi bởi Sin99 on 07-08-2019 - 11:22 trong Hình học
$ \textbf{Bài toán} $ Cho $ \Delta ABC $ nội tiếp $ (O) $ có phân giác $ AD $ cắt $ (O) $ tại $ D $. Gọi $ M $ là 1 điểm bất kì trên $ AD $, $ BM, CM $ cắt $ (O) $ tại $ E, F $. $ EF $ cắt tiếp tuyến của $ (O) $ tại $A$ ở $ T $.
CMR: $ TM // BC $.
Đã gửi bởi Sin99 on 06-08-2019 - 23:51 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Đặt $ a = x + 2, b = y +2 , c = z +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $
BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $
$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $
$ \Leftrightarrow (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.
Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.
Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.
Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có VT $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $
Ta chỉ cần chứng minh $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).
Đã gửi bởi Sin99 on 06-08-2019 - 17:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bạn có thể AM-GM trực tiếp:
$ P \geq 2\sqrt{2\frac{ab+bc+ac}{ab+bc+ac} } = 2\sqrt{2} $.
Dấu "=" xảy ra khi $ 2(ab+bc+ac)^2 = 1 $ hay $ ab+bc+ac = \sqrt{\frac{1}{2} } $.
Ta đưa về giải hệ $ \begin{cases} a+b = 3-c \\ ab = \sqrt{\frac{1}{2}} + c^2 - 3c \end{cases} $
Đã gửi bởi Sin99 on 06-08-2019 - 13:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đề là như vậy à bạn: $ P = 2(ab+bc+ac) + \frac{1}{ab+bc+ac} $ ?
Đã gửi bởi Sin99 on 05-08-2019 - 16:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có $ \frac{4}{3} \geq x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} - (x+y+z) $
Suy ra $ 0 \geq (x+y+z)^2 - 3(x+y+z) - 4 $ hay $ 0 \geq (x+y+z-4)(x+y+z+1) $
Nếu $ x+y+z \leq -1 $ và $ x+y+z \geq 4 $ (Vô lí) nên $ x+y+z \geq -1 $ và $ x+y+z \leq 4 $ (đpcm)
Đã gửi bởi Sin99 on 04-08-2019 - 21:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1) Áp dụng BĐT: $ 9(x+y)(y+z)(x+z) \geq 8(x+y+z)(xy+yz+xz) $
Đã gửi bởi Sin99 on 04-08-2019 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 2 hình như trong cuốn 1001 bài toán sơ cấp
Đã gửi bởi Sin99 on 04-08-2019 - 21:13 trong Hình học
Mình từng đăng lời giải, bạn tham khảo ở đây: https://diendantoanh...ác-của-góc-bhc/
Đã gửi bởi Sin99 on 04-08-2019 - 21:10 trong Tài liệu tham khảo khác
Rồi đó bạn, bạn check mail nhé
Đã gửi bởi Sin99 on 02-08-2019 - 00:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Câu 4 Pt 1 $ \Leftrightarrow (x^2 + 1)(x - y - 1 ) = 0 $
Đã gửi bởi Sin99 on 02-08-2019 - 00:31 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Câu 2 : Pt (1) $ \Leftrightarrow (y- 3)(x-2) = 0 $
Đã gửi bởi Sin99 on 02-08-2019 - 00:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Mình nghĩ câu 1 sai đề, có thể pt 2 là $ 3y - \frac{1}{y} = x^3 + x + 1 - \frac{1}{x} $
Đã gửi bởi Sin99 on 01-08-2019 - 22:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
2. Đặt t = $\sqrt{x^2-x+1}$ thì phương trình tương đương: $(t-x^2+x)(t-x-2)=0$$\Leftrightarrow t=x^2-x \veebar t=x+2$ ...
Cũng tương tự cách mình giải mà, chỉ là bạn có đặt t, mình giữ nguyên thôi
Đã gửi bởi Sin99 on 01-08-2019 - 22:31 trong Tài liệu tham khảo khác
Bài viết bị trôi mất rồi
Đã gửi bởi Sin99 on 01-08-2019 - 12:27 trong Tài liệu tham khảo khác
Mình có tìm thấy trên mạng bản PDF của cuốn sách hình học hữu ích của giáo sư Titu Andreescu. Có điều đây là bản tiếng anh, hơi bất tiện nhưng chiệu khó dịch cũng không sao Do file khá lớn nên các bạn quan tâm có thể để lại mail mình sẽ gửi .
Đã gửi bởi Sin99 on 01-08-2019 - 12:26 trong Tài liệu tham khảo khác
Mình có tìm thấy trên mạng bản PDF của cuốn sách hình học hữu ích của giáo sư Titu Andreescu. Có điều đây là bản tiếng anh, hơi bất tiện nhưng chiệu khó dịch cũng không sao Do file khá lớn nên các bạn để lại gmail mình sẽ gửi.
Đã gửi bởi Sin99 on 31-07-2019 - 21:07 trong Hình học phẳng
Gọi $ L $ là giao của $ AM $ và $ EF $. Qua $ L $ kẻ đường thẳng song song với $ BC $ cắt $ AB, AC $ tại $ P, Q $. Khi đó ta có $ L $ là trung điểm $ PQ $, suy ra $ \Delta IPQ $ cân
Có $ \Delta IFP = \Delta IEQ $ ( ch-cgv ) và $ LIFP, \ LIQE $ nội tiếp $ \Rightarrow \angle PLF = \angle PIF = \angle EIQ = \angle ELQ $ suy ra $ \overline{F,L,E} $.
Đã gửi bởi Sin99 on 31-07-2019 - 18:25 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cách khác của mình tại đây: https://diendantoanh...hức-và-cực-trị/
Đã gửi bởi Sin99 on 31-07-2019 - 17:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng Cosi:
$ \frac{a^2}{b-1} + 4(b-1) \geq 4a $
$ \frac{b^2}{a-1} + 4(a-1) \geq 4b $
Cộng theo vế có $ VT \geq 8 $
Vậy Min A = 8 khi a = b = 2.
(Bạn nên học gõ Latex)
Đã gửi bởi Sin99 on 31-07-2019 - 09:08 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tiếp tục câu 2
Phương trình tương đương
$ (x^2+2)(x+2) - ( 5x + 3) = (x^2+2)\sqrt{x^2-x+1} $
$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1}) - (5x+3) = 0 $
$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1} - [ (x+2)^2 - (x^2-x+1) ] = 0 $
$ \Leftrightarrow [x^2+2 - ( x + 2 + \sqrt{x^2-x+1} )](x+2 - \sqrt{x^2-x+1}) = 0 $
$ \Leftrightarrow x^2 - x - \sqrt{x^2-x+1} = 0 (1) $ hoặc $ x^2 +2 - \sqrt{x^2-x+1} = 0 $
Để xử lí (1) có thể đặt $ \sqrt{x^2-x+1} = a $ rồi đua về pt $ a^2 - a - 1 = 0 $
Đã gửi bởi Sin99 on 31-07-2019 - 01:02 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Xin chém câu 1 rồi đi ngủ
Xét $ 3 \geq x \geq 1 $. Phương trình tương đương
$ x^2(3-x) + (x^2 - 2x+3)(\sqrt{2x^2+x+1} + 1) > 0 $
Xét $ 1 \geq x $. Phương trình tương đương
$ (1-x)(x^2 -x+2) + \sqrt{2x^2+x+1}(x^2-2x+3+\sqrt{2x^2+x+1}) > 0$
Vậy $ x \in \varnothing $
Đã gửi bởi Sin99 on 30-07-2019 - 19:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đề có vẻ sai chỗ giả thiết, mình nghĩ phải là $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Nếu là vậy thì xin đưa ra cách sau:
$ \textbf{ Bổ đề } $. Với $ a,b,c > 0 $, ta có : $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $
$ \textbf{ Chứng minh } $. BĐT tương đương $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} + 2 ( \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}) \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $
Sử dụng AM-GM: $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{c} + \frac{a}{c} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a^4}{b^2c^2} } \geq 3\frac{a^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $
Tương tự, cộng theo vế ta được $ (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^2 \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ hay
$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $
$ \textbf{ Áp dụng } $. $ VT \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} = \frac{3}{\sqrt[3]{abc} } \geq \frac{9}{a+b+c} = VP $ (ĐPCM).
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học