Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ P= \frac{a^2}{b+c} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} +\frac{3abc}{2(ab+bc+ca)}$

Cho 3 số thực x; y; z không âm sao cho không có 2 số nào cùng = 0. Chứng minh rằng:
$(x+y+z)^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{x^2y+y^2z+z^2x}) +\frac{36}{x+y+z+1} \geq \frac{63}{4}$

Bài này không biết ổn không, dấu bằng tại tâm $x=y=z$ không xảy ra, và khi 1 biến bằng 0 cũng không được (!!!)

Schur cũng khá gọn nhưng để chứng minh Schur và hệ quả của nó trong phòng thi thì không được thực dụng lắm.

Bdt Schur được dùng thẳng nhé. Còn nếu chứng minh thì 2 dòng.

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Tìm GTLN của biểu thức $P(x,y,z)=\frac{1}{(2x+y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+2y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+y+2z)^{2}}$

Ta có: $P(x,y,z)=\sum \frac{1}{[(x+y)+(x+z)]^{2}}$

Theo bđt AM-GM thì $(x+y)+(y+z) \ge 2 \sqrt{(x+y)(x+z)}$. Thiết lập các bđt tương tự, ta được:

$P \le \frac{x+y+z}{2(x+y)(y+z)(z+x)}$. Chú ý: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Như vậy $P \le \frac{9}{16(xy+yz+zx)}$. Từ GT, ta được $4xyz(x+y+z) \ge xy+yz+zx$. Mà $(xy+yz+zx)^2 \ge 3(x+y+z)xyz$. 

Do đó: $xy+yz+zx \ge \frac{3}{4}$. Như vậy $P \le \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra $\iff x=y=z=\frac{1}{2}$.

P/S: Mình mới tham gia diễn đàn nên chưa quen gõ Latex!!!

Câu 3.2
Idea của em sẽ là đánh giá tích $(a+3)(b+3)(c+3) \ge 64$

đưa về $p,q,r$ tức ta cần chứng minh $r+9p \ge 28$. Công việc này khá đơn giản ta chỉ việc xét $\frac{28}{9} \ge p \ge 3$.

Chú ý bđt $r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}$ .Tiếp theo là biến đổi tương đương là xong