bạn chỉ cần chỉ ra Tr(AB-BA)=0 mà Tr(C) là (a,-a)Bài 201:
Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$
Ta có:
$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$
$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).A$
$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$
$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.A$
Quy nạp lên ta có:
$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$
$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.A$
Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$
Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!
.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!
Mình không hiểu ý bài bạn nêu lắm. Nếu tồn tại thì có thể chỉ ra luôn A là ma trân toàn số 0