Tìm phương trình tiếp tuyết của đường cong tại $(0,-1)$:

$x^2y^3-2xy=6x+y+1$

Tìm hàm ngược của:

$f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$

Find a strictly increasing function f such that $f'(1)=0$

Chứng minh đẳng thức sau: 

$2tan^{-1}x+sin^{-1}\frac{2x}{x^2+1}=\pi, x\geqslant 1$

Tìm c để hàm số liên tục trên R: 

$f(x)=\left\{\begin{matrix} cx+1,x\leqslant 3\\ cx^2-1,x>3 \end{matrix}\right.$

Cho $g(x)$ là hàm ngược của $f(x)$. Tìm hàm ngược của các hàm sau:

$f(x+1)$; $4f(x)$; $g(x-1)$; $\frac{g(x)}{4}$

Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số:

$y=\frac{1}{1-\sqrt{x-2}}$

Ý tưởng nhé:
Trước tiên, vẫn là mò nghiệm. Cái này thì trong thủ thuật " Giải toán bằng CASIO" có rồi, không nhắc lại nữa:
Nghiệm là: $1$ và $\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$
Như đã nói, nghiệm vô tỷ luôn đưa ra lời giải nhanh nhất

Tuy nhiên, một số người không tin...

Mình bấm máy tính nó chỉ hiển thị -0.24295 thôi. Cho mình hỏi làm thế nào để biết được chính xác giá trị nghiệm là $\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$. 

Mọi người giúp mình giải những bt này hay chỉ cách cũng được
2.

$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

3. Giải hpt
$4x^2-y^2=-2$

$2x^2y^2+2x^2=9/4$

 

2. Đặt $y=\sqrt[3]{2x-1}\Leftrightarrow y^3+1=2x$

phương trình cho trờ thành: $x^3+1=2y$

Giải hệ đối xứng tìm được x

3. Đặt $a=4x^2;b=y^2$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a-b=-2\\ ab+a=\dfrac{9}{2} \end{matrix}\right.$

Trong mặt phảng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : $\left ( x - 1 \right )^{2} + \left ( y + 2 \right )^{2} = 4$ và hai điểm A(1;2), B(-3;4). Tìm điểm M nằm trên (C) sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất

Gọi C là trung điểm AB. M là điểm nằm ngoài AB nên theo định lý đường trung tuyến ta có:

$MC^2=\frac{MA^2+MB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}\Leftrightarrow MA^2+MB^2=2MC^2+\frac{AB^2}{2}$

$MA^{2} + MB^{2}$ min

$\Leftrightarrow 2MC^2+\frac{AB^2}{2}$ min 

$\Leftrightarrow MC^2$ min 

M thuộc (C) tâm I nên MC nhỏ nhất khi M là giao điểm của CI và (C) sao cho M nằm giữa C và I.

Từ A nằm ngoài đường tròn tâm $I(7;2)$ vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn. Biết phương trình $BC: 2x-y-7=0$ và tọa độ điểm $D(3;5)$. Đường thẳng qua D vuông góc IB cắt BC, BE lần lượt tại M, N. Với $IM=\sqrt10$. Tính IN 

sao lại dễ thấy được phải chứng minh chứ 

CM: $\dfrac{9}{5\sqrt{3x-8}+3x-4}+\dfrac{1}{5\sqrt{x+1} +x+7}+4>0$

Ta có:

$3x-4\geq 0,\forall x\geq \frac{8}{3}$ và $x+7\geq 0,\forall x\geq \frac{8}{3}$

Do đó: $\dfrac{9}{5\sqrt{3x-8}+3x-4}+\dfrac{1}{5\sqrt{x+1} +x+7}+4>0,\forall x\geq \frac{8}{3}$

Vì giá trị dưới căn luôn dương rồi.

P/S: Mình gõ sai chổ $-(x+7)$ nên sửa là $+(x+7)$ rồi

Câu B:

+Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta luôn có $HG=\frac{2}{3}HJ$. Từ đó tìm được G. 

+ Tham số A. G là trọng tâm nên:  $AG=2GM$. Tim được A.

+Viết BC qua M có vécto pháp tuyến JM. Giao của BC và đường tròn $\large \left ( x+1 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=25$ tìm được B, C

Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp trong đường tròn $(C):x^2+y^2-4y-4=0,$ trung điểm $M$ của $AB$ thuộc $(d):2x-y-1=0.$ Viết phương trình $AB$ và tìm tọa độ điểm $C.$

Giải pt: $\sqrt{3x-8}-\sqrt{x+1}=\dfrac{5}{2x-11}$

Điều kiện: $x\neq \frac{11}{2}$ và $x\geq \frac{8}{3} $

$Pt \Leftrightarrow \frac{2x-9}{\sqrt{3x-8}+\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2x-11}$ do $\sqrt{3x-8}+\sqrt{x+1}\neq 0$

$\Leftrightarrow 5\left ( \sqrt{3x-8}+\sqrt{x+1} \right )=\left ( 2x-9 \right )\left ( 2x-11 \right )$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{3x-8}-(3x-4)+5\sqrt{x+1} -(x+7)=4x^2-44x+96$

$\Leftrightarrow \frac{9(x-8)(x-3)}{5\sqrt{3x-8}+3x-4}+\frac{(x-3)(x-8)}{5\sqrt{x+1} -(x+7)}+4(x-3)(x-8)=0$

$\Leftrightarrow(x-3)(x-8)\left (\dfrac{9}{5\sqrt{3x-8}+3x-4}+\dfrac{1}{5\sqrt{x+1} +x+7}+4 \right )=0$

$\Leftrightarrow x=3 \vee x=8$

Vì dể thấy $\dfrac{9}{5\sqrt{3x-8}+3x-4}+\dfrac{1}{5\sqrt{x+1} +x+7}+4> 0$

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$A=7x^3+y^3+3x^2y-3xy^2-12x^2+6x-1$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2+log_{2}\dfrac{x}{y}+1}=y\\ \sqrt[4]{x^2-y}+\sqrt[3]{x^3-14}+2=\sqrt{2y+2} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$\sqrt{5x+4}=x^2-x-6$

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+b+c+b}=\frac{8}{2\left (a+b+c  \right )+2b}\geq \frac{8}{2\sqrt{3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )}+b^2+1}=\frac{8}{b^2+7}$

Tương tự: 

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{8}{c^2+7}$

$\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{8}{a^2+7}$

Vậy $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $x+y+z=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{65}{54} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{65}{54} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{65}{54} \right )$

Giải phương trình:

$x+\frac{x}{4x}+xln\left ( x+\frac{x}{4x} \right )= 1$

Giải phương trình:

$\sqrt{5x^{2}+14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Giải hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-4^{x}}.log_{3}y + \sqrt{1-log_{3}^{2}y}.2^{x} =1\\ \left ( 1-log_{3}y \right )\left (1+2^{x} \right )=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Tim GTNN của:

$A=\sqrt{3x^{2}-6x+9}+\sqrt{3x^{2}-12x+18}$