ta có: $a^{4}+1+b^{4}+1\geq 2a^{2}+2b^{2}\geq a^{2}+b^{2}+2ab=\left ( a+b \right )^{2}$ (dpcm)
dấu bằng khi a=b=+-1

cho a₁,a₂,...,a_n và n la cac so không âm với k$\geq 1$.C/m:
$\frac{a1^{k}+a2^{k}+....+an^{k}}{n}\geq \left ( \frac{a1+a2+...+ak}{n} \right )^{n}$

Đặt a=$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$.Dễ thấy $a\geq 2$
M=$a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3.2}{4}=1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
Dấu bằng khi a=2$\Leftrightarrow x=y$

Bài 4:
$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}+\left ( b+\frac{1}{b} \right )^{2}\geq 2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( b_+\frac{1}{b} \right )=2\left ( ab+\frac{1}{ab} +\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )$
ta có$1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{4},
$$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$
$\frac{a}b{}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2$
suy ra VT$\geq 2\left ( 2+\frac{17}{4} \right )=\frac{25}{2}$(dpcm)

$\sin 8x=\sqrt{2}\sin x$

ta có dễ dàng chứng minh $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$\Rightarrow a+b+c\leq 3$(do a,b,c dương)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-schwars:
VT$\geq \frac{9}{2-a+2-b+2-c}$$= \frac{9}{6-\left ( a+b+c \right )}$$\geq \frac{9}{6-3}= 3$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bài II.1 tôi giải bằng lượng giác ai có cách khác không

Do $\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}=\frac{ca}{b\left ( b+c \right )}$ va $\frac{c}{b+c}=1-\frac{b}{b+c}$ suy ra bdt
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )}+\frac{c^{2}+ab}{c\left ( c+a \right )}+\frac{a^{2}+bc}{a\left ( a+b \right )}\geq 3$
sử dụng bđt Cauchy-Schwars và bđt cơ bản:
$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$
ta có:
$\left [ \sum \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )} \right ]$$\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \left [ \sum \sqrt{\frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )\left ( b+ \right )}} \right ]^{2}$$\geq 3\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$
do vậy chỉ cần chứng minh được:
$\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2} +bc\right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$$\geq \sum \frac{1}{a+b}$
Đúng vì:
$\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}-$$\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}}$
$= \frac{c\left ( a-b \right )^{2}}{ab\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}\geq 0$
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1. c/m:
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ab}{\sqrt{b+ac}}\leq \frac{1}{2}$

ap dung bdt schwars:
vt=1/1+a³+1/1+b³+1/1+c³lon hon hoac bang9/(3+a³+b³+c³)
ad dung cosi 3so:a³+b³+c lon hon hoac bang 3abc
suy ra dpcm