$\sqrt{(4-x)(x+6)}=x^2-2x-12$

Bài toán:

$$2^{3x}+3^{\dfrac{2}{x}}=17$$

Giải PT:

$x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Câu hỏi: Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có:

$$\dfrac{\cos(\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2})}{\sin \dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{A}{2})}{\sin \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})}{\sin \dfrac{C}{2}} \leq 2(\dfrac{\tan \dfrac{A}{2}}{\tan \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\tan \dfrac{B}{2}}{\tan \dfrac{C}{2}}+\dfrac{\tan \dfrac{C}{2}}{\tan \dfrac{A}{2}})$$

Bài 5 bài 4 hướng giải là sao vậy mn?

Cho hàm số $y=x^3+(102m)x^2+(2-m)x+m+2$ (1) $m$ là tham số.

Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng $d: x+y+7=0$ một góc $\alpha$, biết $\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{26}}$

Tìm $m$ để bpt sau có nghiệm: 

$$\begin{cases} 2x^3-(y+2)x^2+xy=m \\  x^2+x-y=1-2m \end{cases}$$

Bài toán: Tìm $m$ để pt có nghiệm duy nhất: $4x^3-3x-2m+3=0$ có nghiệm duy nhất.

Giải PT:

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+6}-\sqrt{x^2-2x+4}-x^2=0$

Bài toán: 

Tìm trên trục hoành điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến $A$ và $B$ là nhỏ nhất biết:

a, $A(1;2), B(1;1)$

b, $A(-1;2),B(2;1)$

c, $A(-2;-1); B(-1;-1)$

Bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x+y-z+2=0$ và các điểm $A(1;1;1), B(2;3;1)$. Mặt cầu $(S)$ thay đổi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại $C$. Biết rằng $C$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính diện tích $S$ của đường tròn đó

Giải pt: 

$(2-x)\sqrt{x+1}+x^2-x+1=0$

1, $\sqrt{x^2+5}=x+1+\sqrt{x^2+3x+4}$

2, $\sqrt{x^2+5x+4}=\sqrt{x^2+3x}+2x$

3, $\sqrt{5x^2+2x}-\sqrt{5x^2+x+4}=x+4$

GPT:

$(\sqrt{2-x^2}+1)(3-x^2)+4x-4=0$

Giải hệ: 

$\begin{cases} &  (4x^2-4xy+4y^2-51)(x-y)^3+3=0 \\ &  (2x-7)(x-y)+1=0 \end{cases}$

Bài toán:

$$7^{\dfrac{x-x^2}{8}} <7^{1-x}.(\sqrt[8]{7})^{x^2}+6$$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(2k+1)x-(2k-1)y+(k+1)z+3=0$ ($k$ là tham số). Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$ thuộc một đường tròn $(C)$ cố định. Bán kính $r$ của đường tròn $(C)$ bằng bao nhiêu

$A. \dfrac{\sqrt{10998}}{26}$

$B . \dfrac{\sqrt{11998}}{20}$

$C. \dfrac{\sqrt{846}}{13}$

$D. \dfrac{\sqrt{12018}}{10}$

Giải hệ pt sau:

$\begin{cases} a \not = b \\ (a-2)(b-2)+\dfrac{4ab}{(a-1)(b-1)}=0 \\ (a-2)^2+\dfrac{4a^2}{(a-1)^2}=(b-2)^2+\dfrac{4b^2}{(b-1)^2} \end{cases}$

Gọi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh một tam giác nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y,z$ ta luôn có:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.$

Bạn tham khảo  Ở đây

giải hệ:$\left\{\begin{matrix} 2x+ &2y+ xy &=5 \\ 27(x+y)+y^3+7 &=26x^3 &+27x^2+9x \end{matrix}\right.$

$\iff \begin{cases} &  2(x+y)+xy=5 \\  &  27(x+y)+y^3+x^3+8=27x^3+27x^2+9x+1 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  xy=5-2(x+y) \\  &  27(x+y)+(x+y)^3-3xy(x+y)+8=(3x+1)^3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  xy=5-2(x+y) \\  &  27(x+y)-3[5-2(x+y)](x+y)+(x+y)^3+8=(3x+1)^3 \end{cases}$

$(2) \iff (x+y)^3+6(x+y)^2+12(x+y)+8=(3x+1)^3$

$\iff (x+y+2)^3=(3x+1)^3$

$\iff x+y+2=3x+1$

$\iff y=2x-1$

Đến đây thay vào phương trình (1) để tìm $x;y$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}(1-2y)-y+2=0 & \\ y(y+\sqrt{x-1})+x-4=0 & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x \geq 1$

$\iff \begin{cases} &  \sqrt{x-1}-2y\sqrt{x-1}-y+2=0 \\  &  y^2+y\sqrt{x-1}+(x-1)-3=0 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x-1}=a$

$\iff \begin{cases} &  a-2ya-y+2=0 \ (1) \\  &  y^2+ya+a^2-3=0 \ (2) \end{cases}$

3PT(1)+2PT(2) $\iff 2y^2-4ya+2a^2+3a-3y=0$

$\iff 2(y-a)^2+3(a-y)=0$

$\iff (y-a)(2y-2a+3)=0$

$\iff y=a$ v $2y-2a+3=0$

Xong thay vào 1 trong 2 pt để tìm y và a.

Giải bất phương trình:

$\sqrt{x^{2}+1}+2\sqrt{x^{2}+2x+3}\geq 3\sqrt{x^{2}+4x+5}$

$\iff (\sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{x^2+1})+2(\sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{x^2+2x+3}) \leq 0$

$\iff \dfrac{4(x+1)}{\sqrt{x^2+4x+5}+\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{4(x+1)}{\sqrt{x^2+4x+5}+\sqrt{x^2+2x+3}} \leq 0$

$\iff 4(x+1)(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+\sqrt{x^2+2x+3}}) \leq 0$

$\iff x+1 \leq 0$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

$\iff x \leq -1$

$\begin{cases}x\sqrt{8-x^{2}}+y\sqrt{3-2y}=5\\(3-2y)\sqrt{x+1}=2y+\sqrt{4-y}-2\end{cases} $

Một hệ được giải bằng phương pháp đánh giá

ĐK: $3-2y \geq 0$

$\rightarrow (3-2y)\sqrt{x+1} \geq 0 \rightarrow 2y+\sqrt{4-y}-2 \geq 0 (\sqrt{4-y}-2)(2\sqrt{4-y}+3) \leq 0$

$\rightarrow \sqrt{4-y} \leq 2 \iff y \geq 0$

Ta có: $y\sqrt{3-2y}=\sqrt{y.y.(3-2y)} \leq \sqrt{\dfrac{(y+y+3-2y)^3}{27}}=1$ (áp dụng bđt $xyz \leq \dfrac{(x+y+z)^3}{27}$)

$x\sqrt{8-x^2}=5-y\sqrt{3-2y} \geq 4 >0 (1)$

$\rightarrow x >0$

$\rightarrow x\sqrt{8-x^2} \leq \dfrac{x+8-x^2}{2}=4$

$\rightarrow x\sqrt{8-x^2}+y\sqrt{3-2y} \geq 1+4=5$

Dấu "=" có khi: $x=\sqrt{8-x^2}; y=3-2y \rightarrow x=2; y=1$

Bài 37: Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{9}$. CMR:

$(2a+2b-c)^3+(2b+2c-a)^3+(2c+2a-b)^3 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+3x+1+3\sqrt{y-2}=0 & & \\ x^{3}+3x^{2}+4x+2-2y\sqrt{y-2}=0 & & \end{matrix}\right.$

$ \iff \begin{cases} (x+1)^3+3\sqrt{y-2}=0 \ (1) \\  (x+1)^3+(x+1)=2(y-2)\sqrt{y-2}+4\sqrt{y-2} \ (2) \end{cases}$

$(1)+(2) \iff 2(x+1)^3+(x+1)=2(y-2)\sqrt{y-2}+\sqrt{y-2}$

$\rightarrow x+1=\sqrt{y-2}$

Đến đây bạn thay vào pt (1) để giải tiếp...