Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$
Vấn đề bây giờ là tìm số dư của $x_{2008}$ cho 503.
Xét dãy $a_{n}$ thỏa mãn $a_{0}=0; a_{1}=45; a_{n+1}=3a_{n}+504.a_{n-1}$
Suy ra $a_{n} \equiv x_{n} (mod 503)$
Mà $a_{n}= 24^n-(-21)^n$
Suy ra $a_{2008}=24^{2008}-21^{2008} \equiv 0 (mod 503)$ (chú ý 2008=4.502)
Do đó $x_{n} \equiv 0 (mod 503)$. (1)
Mặt khác dãy $x_{n} (mod 4)$ tuần hoàn chu kì 6 (cái này em tính 10 giá trị mod 4đầu tiên sẽ thấy ngay).
Suy ra $x_{2008} \equiv 2 (mod 4)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $x_{2008} \equiv 1006 (mod 2012)$.
@ Tú: Bài thầy Sâm à! (_ _^)