Câu 2: a)

Đặt $u^2=2x+1,v^2=2y+1$. 

Suy ra $8(u+v)=(u^2-v^2)^2\Rightarrow u=-v \text{ và } (u+v)(u^2-v^2)=8$.

$u=-v$ vô nghiệm vì $u,v\geq 0$.

Từ PT2, ta lại có: $u^4+3u^2v^2+u^2+2v^4-3v^2-20=0 \implies (u^2+v^2-4)(u^2+2v^2+ 5)=0$.

Suy ra: $u^2+v^2=4$ hay $x+y=1$.

Từ đây có thể giải ra $(x,y)=\bigg(\dfrac{3}{2},\dfrac{-1}{2}\bigg),\bigg(\dfrac{-1}{2},\dfrac{3}{2}\bigg)$.

Cũng có thể làm như sau:

Chọn ra trước $2$ trong $4$ phòng $C_4^2$.

Chọn tiếp $3$ người trong $10$ để vô $1$ phòng: $C_{10}^3$.

Chọn tiếp $3$ người trong $7$ để vô phòng còn lại: $C_7^3$.

Còn lại $4$ người $2$ phòng thì như trên có $8$ cách nữa.

Vậy có $C_4^2.C_{10}^3.C_7^3.8=201600$ cách.

Lâu rồi không chơi domino, giờ chợt nghĩ là có thể xếp domino thành 1 đường thẳng không và có bao nhiêu cách?

Có thể giải thích bằng tốc độ tiến đến vô cực của tử và mẫu.

Rõ ràng hàm luỹ thừa tiến đến vô cực nhanh hơn so với hàm đa thức.

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, PT trở thành:

$$ a^3+b^3+2ab-8=0.$$

Ở đây có dạng tổng tích nên $(a+b,ab)=(S,P)$, ta thu được:

$$ P=\dfrac{S^3-8}{3S-2}.$$ 

Để ý $P\leq \dfrac{S^2}{4}$ nên ta có: 

$$\dfrac{S^3-8}{3S-2}\leq \dfrac{S^2}{4} \Leftrightarrow \dfrac{S^3+2S^2-32}{3S-2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}<S \leq \frac{2}{3}(-1+\sqrt[3]{53-6 \sqrt{78}}+\sqrt[3]{53+6 \sqrt{78}}).$$

Do $S\in \mathbb{Z}$ nên $S=1$ (loại $P$ không nguyên) và $S=2$, được $P=0$.

Vậy $(x,y)=\{(2,0),(0,-2)\}$.

P/S:

• Nếu đổi lại $x^3-y^3=2xy-8$ thì ở đoạn giải BPT theo $S$ sẽ đẹp hơn .
• Việc đặt lại theo $a,b$ là do sau khi đổi dấu. Còn việc đặt $S,P$ là do thử kiểm tra liệu có thể $S$ nằm trong đoạn nào?
• Các kỹ thuật đặt trên là do kinh nghiệm, tuy nhiên nếu làm nhiều sẽ thành thói quen với các bài dạng PT nghiệm nguyên (vốn không có nhiều điều kiện của biến).
• Ngoài ra, trong vài trường hợp có thể mẫu là ước của tử hoặc một vế nào đó của PT luôn âm/dương.

Hình như này là đề tài Sentiment Analysis .

Nói về data thì bên HCMUIT họ khá là nhiều nha. 

Em có thể kiếm trên GG Scholar của các thầy Kiệt, cô Ngân ở UIT.

$\boxed{8}$. Quá rõ ràng từ PT2 cho ta ngay ý tưởng đặt ẩn.

Đặt $a,b=\sqrt{x-2},\sqrt{2y+1}$.

Suy ra $a=b$ và $a+3b=4$ nên $a=b=1$.

$\boxed{6}$. Đánh giá là suy nghĩ đầu tiên

$7x+29=8\sqrt{5x+1}+6\sqrt{2x+3}\leq [(5x+1)+16]+[(2x+3)+9]=7x+29$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=3$.

Thử lại thoả mãn.

Bài $\boxed{8}$ và $\boxed{9}$ cùng dạng.

Đặt căn bằng $t$.

Sau đó tách PT thành dạng $t^2+f(x)t+g(x)=0$ mà $\Delta=f^2(x)-4g(x)=h^2(x)$.

Về sau cứ gặp là đặt và mần thoi. 

Các bài 25, 26, 27 theo anh thấy không đủ đô cho tiêu đề mà em ghi là CHUYÊN được  

Chính vì không đủ khó nên các bạn có thể biết làm nhưng không mặn mà trọng việc đóng góp á em.

Về PT HPT thì anh xin review cuốn "Sáng tạo PT, HPT, BPT" của tác giá Nguyễn Tài Chung.

Bài $\boxed{15}$. Tương đối đơn giản.

Có thể cảm giác là PT2 không có gì để khai thác, nên ta chuyển hướng sang PT1.

PT1 thì giải bằng phân phối cũng được.

Hoặc đặt $x=ky$, suy ra ta giải PT: $\dfrac{4}{1+k}+6=\frac{3}{k}$.

Ra được $k=\frac{-3}{2}$ hoặc $k=\frac{1}{3}$.

Sau khi quy đồng, có thể tách tử như sau:

$$3x^5+5x^3+7x = x[3(x^4-1)+5(x^2-1)+15] = 3x(x-1)(x+1)(x^2+1) + 5x(x-1)(x+1)+ 15x = 3x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+20x(x-1)(x+1)+15x.$$

Đây là $1$ bài rất hay. Lâu rồi mới gặp.

Đơn giản thấy ngay $x>0$. 

Đặt $y=\sqrt[3]{(x^2+4)^2}\Rightarrow y^3=(x^2+4)^2.$

Ta cũng có ngay: $(x^3-4)^3=(y+4)^2$.

Giả sử $x^3-4\geq y$, suy ra: $(y+4)^2\geq y^3\Rightarrow y\leq 4$.

Nên suy ra $(x^2+4)^2=y^3\leq 64\Rightarrow x\leq 2$.

Còn $x^3-4\geq y\Rightarrow (x^3-4)^3\geq (x^2+4)^2\Rightarrow (x-2)f(x)\geq 0$ (Với $f(x)$ là một đa thức bậc $8$ dương)

Nên $x=2$.

P/S: Đây là PT giải bằng đánh giá Mai mình có kiểm tra nên giải xấu xí tạm vậy. 

Dạng này các bạn dùng tính đồng biến của hàm số: f(x) = $x^{3}+x^{2}+2x$ (Học sinh cấp 2 thì xét hiệu, cấp 3 thì dùng đạo hàm)

Từ đó suy ra x = y = z thôi mà.

Bạn làm rõ hơn về việc cộng vế và dùng tính đồng biến để giải được không nhỉ?

Mình bỏ cũng lâu nên có thể không update các cách mới!

Với riêng mình thì ngay từ đầu có thể thấy ngay $x,y,z$ cùng dấu. 

TH1: $x,y,z$ không âm thì có thể giả sử $x\geq y\geq z\geq 0$. 

TH này không khó, có thể xử lý dễ dàng.

TH2: $x,y,z$ đều âm. Đến đây nếu xử lý như trên có vẻ không suôn sẻ. 

Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$

PT $(1)$ có thể biến đổi về:

$$(x-2)[(x-2)^2+1] = \sqrt{x-y+1}[(x-y+1)+1].$$

PT $(2)$ đề hơi lạ, cảm giác sai sai!

Nhận xét cụm $3x^2+18x-2xy-y^2$ có thể biến đổi về có cả $x-y+6$ lẫn $3x+y$ (từ $8(3x+y)$).

Từ $u_1$ trở đi (tất cả $u_n>1$ với $n>0$) thì dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $1$ hoặc $0$ (lỏng hơn).

Bạn nên thử so sánh $u_{n+1}>u_n$ nếu không đúng thì đảo chiều, và từ đó có thể thấy so sánh được $u_n$ và $\alpha$ (ở đây $\alpha=1$) và chính $\alpha$ cũng là $L=\lim{u_n}$. 

Cho $B$, $C$ là hai điểm thuộc về hai phía của đường tròn đường kính $AD$ sao cho $AB=AC$. Xét $P$ thuộc đoạn $BC$, $M$, $N$ lần lượt thuộc $AB$, $AC$ thoả $PMAN$ là hình bình hành. Gọi $PL$ là đường phân giác của tam giác $MPN$ với $L\in MN$.

Chứng minh bốn điểm $B$, $Q$, $L$ và $C$ thuộc một đường tròn với $Q=PD\cap MN$. 

Hình như $8622$ Bữa giờ em cũng thấy lạ mà quên không hỏi. 

Có bao nhiêu số "hill-dale number" $\overline{abcd}$? - Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức - Diễn đàn Toán học (diendantoanhoc.org)

Dạng 1: $\overline{ab0d0}$ có 2 số $0$ ví dụ như $12020$.

Dạng 2: $\overline{ab0de}$ hoặc $\overline{abcd0}$ có đúng 1 số $0$.

Dạng 3: $\overline{abcde}$ không có chữ số nào bằng $0$.

Lưu ý: Bài bạn khác bài trong link ($a,c,e$ có thể bằng nhau, và tương tự với $b,d$)

a) Dạng 1: $d$ chọn tuỳ ý từ $1$ đến $9$. Còn $b$ phụ thuộc $a$ nên có $9.\sum_{i=1}^{8}=324$ số .

b) Dạng 2:

* $\overline{ab0de}$ thì ta chỉ cần đếm $ab$ vì $de$ tương tự. Mà $a<b$, $a=1\rightarrow 8$ nên có $36$ số $\overline{ab}$

Suy ra có $36.36=1296$ số.

* $\overline{abcd0}$ thì ta có $a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow a$, $d=c+1\rightarrow 9$ 

Nên có: $\sum_{a=1}^8(9-a)\sum_{c=1}^a(9-c)=1086$ số.

c) Dạng 3:

$a=1\rightarrow 8$, $b=a+1\rightarrow 9$, $c=1\rightarrow b-1$, $d=c+1\rightarrow 9$, $e=1\rightarrow d-1$

Nên có: ...

P/S Cái cuối nghĩ chưa ra nữa ạ!!!

Bởi sáng mới thấy nè, đề của chuyên toán PBC Nghệ An.

Chuyển hết về vế trái ở cả hai PT rồi $2(1)-(2)=(2x-y)^2-(2x-y)=0$.

Nên suy ra chỉ cần giải $y=2x$ hoặc $y=2x-1$.

Các bài dạng này có thể xử lý bằng tổng $S$ tích $P$ để thêm được một điều kiện $S^2\geq 4P$.

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, $S=a+b,P=ab<0$.

Từ PT ban đầu, ta được:

$$a^3+b^3=13(a^2+b^2) \Rightarrow P=\dfrac{S^3-13S^2}{3S-26}.$$

Giải hai BPT $P<0$ và $S^2\geq 4P$, ta được $(S,P)=\{(9,-324), (10,-75)\}$. 

Thử lại, ta được $(x,y)=(15,5)$.

Một kinh nghiệm của mình khi gặp người quen $x^4+4$ là sẽ phân tích thành nhân tử $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Bài này cũng không ngoại lệ.

Ngoài ra, dễ dàng thấy ngay (đặt $x$ ở VT ra ngoài) thì $x$ dương.

Khi đó ta viết lại như sau:

$$15x(x^2+x+2)=4\sqrt{5}(x^2+2)\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}.$$

Nhận xét, ta thấy $x^2+2$ xuất hiện ở cả hai bên, nên lợi dụng việc này, chia cả hai vế cho $x^2$ (được thực hiện do $x=0$ không là nghiệm).

Và ta viết lại được:

$$15(x+\dfrac{2}{x}+1)=4\sqrt{5}(x+\dfrac{2}{x})\sqrt{\bigg(x+\dfrac{2}{x}-2\bigg)\bigg(x+\dfrac{2}{x}+2\bigg)}.$$

Đặt $t=x+\dfrac{2}{x}>0$. Khi đó, PT trở thành:

$$15(t+1)=4\sqrt{5}t\sqrt{t^2-4}.$$

Đến đây, có thể mạnh dạn bình phương vì bậc $4$ cũng không khó. Tuy nhiên do $t=3$ đã là nghiệm thì sẽ còn lại PT bậc $3$ có thể dẫn đến nghiệm thực khó kiểm soát (phỏng đoán) nên mình sử dụng phương pháp đánh giá. 

Ta thấy $t=3$ thì $\sqrt{t^2-4}=\sqrt{5}$, làm mình nghĩ đến áp dụng BCS cho hai số hạng này ở VP.

$$\dfrac{15(t+1)}{2t}=2\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\leq t^2+1\Rightarrow t\geq 3.$$

Đến đây, ta chỉ cần khéo léo để ra được $t\leq 3$ là done!

$$\dfrac{15(t+1)}{4t}=\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\geq 5\Rightarrow t\leq 3.$$

Vậy $t=3$, dẫn đến $x\in \{1,2\}$. 

P/S:

1. Ở trên là hướng suy nghĩ giải của mình, hoàn toàn tự nhiên, chứ không "học thuộc bài" hoặc rơi vào dạng nào.
2. Các kỹ thuật phân tích nhân tử, tìm điểm chung, đặt ẩn mới và tìm giới hạn (điều kiện) của ẩn cần được sử dụng nhuần nhuyễn.
3. Kinh nghiệm!