giải phương trình: $15(x^{3}+x^{2}+2x)=4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$
$15(x^{3}+x^{2}+2x)=4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$
#1
Đã gửi 15-01-2024 - 21:23
- nhancccp yêu thích
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#2
Đã gửi 15-01-2024 - 21:38
ĐK:$x \geq 0$
Xét $x>2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$(VT<VP)
Xét $x<1$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT<VP)
Xét $1<x<2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)>4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT>VP)
Xét $x=1$ và $x=2$ là nghiệm của phương trình (VT=VP)
Vậy nghiệm của phương trình là S={1;2}
- Hahahahahahahaha yêu thích
#3
Đã gửi 15-01-2024 - 22:45
Một kinh nghiệm của mình khi gặp người quen $x^4+4$ là sẽ phân tích thành nhân tử $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Bài này cũng không ngoại lệ.
Ngoài ra, dễ dàng thấy ngay (đặt $x$ ở VT ra ngoài) thì $x$ dương.
Khi đó ta viết lại như sau:
$$15x(x^2+x+2)=4\sqrt{5}(x^2+2)\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}.$$
Nhận xét, ta thấy $x^2+2$ xuất hiện ở cả hai bên, nên lợi dụng việc này, chia cả hai vế cho $x^2$ (được thực hiện do $x=0$ không là nghiệm).
Và ta viết lại được:
$$15(x+\dfrac{2}{x}+1)=4\sqrt{5}(x+\dfrac{2}{x})\sqrt{\bigg(x+\dfrac{2}{x}-2\bigg)\bigg(x+\dfrac{2}{x}+2\bigg)}.$$
Đặt $t=x+\dfrac{2}{x}>0$. Khi đó, PT trở thành:
$$15(t+1)=4\sqrt{5}t\sqrt{t^2-4}.$$
Đến đây, có thể mạnh dạn bình phương vì bậc $4$ cũng không khó. Tuy nhiên do $t=3$ đã là nghiệm thì sẽ còn lại PT bậc $3$ có thể dẫn đến nghiệm thực khó kiểm soát (phỏng đoán) nên mình sử dụng phương pháp đánh giá.
Ta thấy $t=3$ thì $\sqrt{t^2-4}=\sqrt{5}$, làm mình nghĩ đến áp dụng BCS cho hai số hạng này ở VP.
$$\dfrac{15(t+1)}{2t}=2\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\leq t^2+1\Rightarrow t\geq 3.$$
Đến đây, ta chỉ cần khéo léo để ra được $t\leq 3$ là done!
$$\dfrac{15(t+1)}{4t}=\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\geq 5\Rightarrow t\leq 3.$$
Vậy $t=3$, dẫn đến $x\in \{1,2\}$.
P/S:
- Ở trên là hướng suy nghĩ giải của mình, hoàn toàn tự nhiên, chứ không "học thuộc bài" hoặc rơi vào dạng nào.
- Các kỹ thuật phân tích nhân tử, tìm điểm chung, đặt ẩn mới và tìm giới hạn (điều kiện) của ẩn cần được sử dụng nhuần nhuyễn.
- Kinh nghiệm!
- perfectstrong, hovutenha và Hahahahahahahaha thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#4
Đã gửi 16-01-2024 - 11:45
đặt $x+\frac{2}{x}=t >0$
pt sau khi bình phương: $.....<=>(t-3)(16t^{3}+48t^{2}+35t+15)=0$
do $t>0$ nên dễ suy ra $t=3$...
cách của anh Baoriven chia sẻ cũng rất hay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 16-01-2024 - 11:50
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình vô tỉ
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh