Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$\boxed{1} \dfrac{2}{3} \ge \sqrt[6]{(a+bc)(b+ac)(c+ab)}$
$\boxed{2} \sqrt[6]{(a+bc)(b+ac)(c+ab)} \ge 2\sqrt[3]{abc}$
---
Chỉ dùng những BDT quen thuộc.Dễ nhưng hiểm

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $ab+bc+ac =3 $
Chứng minh rằng : 
$ \frac{a}{2a^2+ bc}+\frac{b}{2b^2+ ac}+\frac{c}{2c^2+ ab} \ge abc $

Ta có:

$ab+bc+ac=3$

$\Longrightarrow bc=3-ab-ac$

$\Longrightarrow \dfrac{a}{2a^2+bc}=\dfrac{a}{2a^2+3-ab-ac}=\dfrac{1}{2a-b-c+\frac{3}{a}}$

Tương tự,ta có:

$\dfrac{b}{2b^2+ac}=\dfrac{1}{2b-a-c+\frac{3}{b}}$

$\dfrac{c}{2c^2+ab}=\dfrac{1}{2c-a-b+\frac{3}{c}}$

Từ đó,ta suy ra:

$VT=\sum \dfrac{1}{2a-b-c+\frac{3}{a}} \ge \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Ta sẽ chứng minh $\dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \ge abc$

$\Longleftrightarrow \dfrac{3}{\frac{ab+bc+ac}{abc}} \ge abc$

$\Longleftrightarrow 1 \ge abc$ (đúng)

Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Ta có:
$\sum \dfrac{a}{b+c-a}=\sum \dfrac{a^2}{ab+ac-a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-a^2-b^2-c^2} (Schwarz)$
Do $-(a^2+b^2+c^2) \le -(ab+bc+ac)$
$\Longleftrightarrow 2(ab+bc+ac)-a^2-b^2-c^2 \le ab+bc+ac$
$\Longrightarrow VT \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac} \ge 3$ (đúng)

Gợi ý.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$(a+b+c) \left (\sum \dfrac{a}{(b+c)^2} \right ) \ge \dfrac{9}{4}$

Tới đây bạn áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz và Nesbit là ra

 a)

Đặt $a=\sqrt[3]{x}$

$\Longrightarrow 2(a^4+\dfrac{1}{a^4}+1) \ge 3(a^3+\dfrac{1}{a^3})$

Tiếp tục đặt $t=a+\dfrac{1}{a} \ge 2$,ta có:

$a^4+\dfrac{1}{a^4}=t^4-2t^2+2$

$a^3+\dfrac{1}{a^3}=t^3-3t$

Do đó ta cần chứng minh :

$2(t^4-4t^2+3) \ge 3(t^3-3t)$

$\Longleftrightarrow (t-2)(2t+1)(t^2-3) \ge 0$

Bất đẳng thức trên đúng vì $t \ge 2$.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=1$

Chứng minh với mọi a, b,c ta có  $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}bc$

Ta luôn có:

$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$

$\Longleftrightarrow \sum (x-y)^2 \ge 0$ (đúng )

Áp dụng,ta có:

$a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge a^2bc+ab^2c+abc^2$ (dpcm)

Góp một bài toán
Bài toán:Cho $x,y,z$ là những có thực thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm GTNN của:

$x^4+y^4+z^4-xyz$

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=3$.Chứng minh rằng:
$$(\dfrac{a+b+c}{3})^3 \ge \sqrt[4]{abc}$$

Cho $x,y$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$(\dfrac{x^7+y^7+1}{\sqrt{8}(x+y)})^2 > \dfrac{x^3y^3}{x^2+y^2+2}$$

cho các số dương a,b,x,y,z. Cmr:
1) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{8}\geq 64ab(a+b)^{2}$
2) $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\geq 2^{8}ab(a+b)$
 

Bài 1:

Ta có:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^8=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2]^4=[a+b+2\sqrt{ab}]^4$

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$,ta có:

$[a+b+2\sqrt{ab}]^4 \ge [2\sqrt{(a+b)2\sqrt{ab}}]^4=64ab(a+b)^2$

Bài 2:

Đề sai bạn ơi!

Giải phương trình:
a)$-2(x+3)+\sqrt{24x+40}=-2$
b)$4(x+3)^2-2(x^2-1)=2(x+3)$

chuyển vế và bình phuơng. giải pt bậc 2

Giúp em luôn đy anh

giải hệ phương trình:

a.$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1 & \\ x^5+y^5=x^2=y^2 & \end{matrix}\right.$

b.$\left\{\begin{matrix} x(x+2)(2x=y)=9 & \\ x^2+4x+y=6 & \end{matrix}\right.$

Đề có bị lỗi không vậy bạn? Theo mình nghĩ là

Số sai mà bạn cũng ko thử lại sao
$\sqrt{605828271189241}=24613579$
Số này mới dúng nè $60916943778789241$
Sao cao thủ VMF toàn giấu nghề không he, có bí kíp gì chia sẻ ae tí chứ

Tại mình nhập số sai thôi. XIn lỗi nhé.Không có nghề gì hết Chỉ là http://www.wolframalpha.com/
Còn nếu cách tính thì chắc là theo dự đoán của máy CASIO hiển thị được bai nhiêu số thì ta tách ra thành có số xyz0...0 sau đó thì tính cái cụm còn lại thì sẽ gọn hơn

$605828271189241$

Bài 1:$2^{11}-1=2047=23.89$Vậy là hợp số
Bài 2:$\sqrt{2003}=44,754(8)$Vậy chữ số thập phân thứ 15 là 8
Bài 3:$-2005=5.(-401)=-5.401$(401 là số nguyên tố)
Bài 4:Là phân số $\frac{781036057}{250000}$

Bài 2:$\sqrt{2003}=44,754(8)$Vậy chữ số thập phân thứ 15 là 8chỗ này sai rồi bạn ơi!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=\sqrt{2003}
Theo đó là số $4$.Bạn có cách nào để làm ra không?

Thi viết nó thành:$\dfrac{3124142248}{1000000}$ rồi thì dùng VINACAL tìm ước chung lớn nhất và rút gọn thôi

Em thấy khi bấm chọn chế độ $\mathrm{STAT}$
Và bấm $\mathrm{Shift} + 1$ và $6$ chọn $\min x$ hoặc $\max x$.
Tới đấy để tìm $\min$ hoặc $\max$ thì làm sao ạ ?

Bài 1: làm nổ 100ml hỗn hợp khí hidro và Oxi,Nito trong một bình kìn sau khi đưa hỗn hợp vào điều kiện ban đầu và cho hơi nước ngưng tụ,thì thể tích của phần khí thu được bằng $64ml$.Thêm $100ml$ không khí và hỗn hợp khi thu được và lại làm nổ.Thể tích của hỗn hợp khí thu được,thể tích của hỗn hôp khí quy về điều kiện ban đầu là $128ml$.Tính thành phần phần tram thể tích không khí ban đầu của oxi,hidro và nito
2)Khử hoàn toàn 4,06g muối trong một oxi kiêm loại bằng $CO$ ở nhiệt độ cao.dẫn toàn bộ khí sinh ra bằng bình chứa dung dịch $Ca(OH)_2$ dư thấy tạo thành 7g kết tủa.Mặt khác nếu lấy lượng kiêm loại sinh ra hòa tan hết vào dung dịch Axit clohidric thì thu được 1,176 $(l)$ $H_2$ ở dktc.Xác định oxit kiêm loại đã thu được

Theo mình thì việc áp dụng BDT Bunia thì có vẻ là nhanh gọn còn ở đây không được sài bunhia có thể là trên trường,lớp chưa được dùng hoặc là phải chứng minh lại thì chúng ta dùng HDT như trên cũng coi là một việc chứng minh lại

Nếu muốn đăng lên diển đàn được thì bạn cho nó vào file đính kèm.Hoặc bấm vào mã nhúng,chọn chèn vào forum.Lấy link đó là cái hình đấy.
--
Bạn insensitive soul spam hả ??

Bạn có thể tìm key ở đây http://www.vn-zoom.c...ian-836752.html hình như mình cũng đang sài cái key đó

Cho mình hỏi là làm sao để vẽ các đường cao , đường phân giác , đướng trung tuyến ,...trong tam giác một cách chính xác nhất

Nếu bạn dùng GSP5 thì như sau:
Bước 1:Bạn chọn một điểm và một đường thằng.
Bước 2:Mở dựng hình và chọn (Vuông góc,song song....)

MÌnh cũng có thể đăng lên zing me,photobucket,upanh,..... Đăng lên rồi lấy code dán hình.Mình thì dùng zing me

 

43) Cho hình thang cân ngoại tiếp hình tròn có độ dài 2 đáy là $\frac{2}{\pi}cm$ và $6cm$. Diện tích hình tròn nội tiếp hình thang bằng ...

 

44) Tam giác $ABC$ có $\widehat{B}=60^o$; $BC=8cm$; $AB+AC=12cm$. Tính $AB$
 

45) Tìm $x$ biết $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5$

 

46) Tính $x^4+y^4$ biết $\left\{\begin{matrix}x+y=4  &  & \\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)=280  &  &  \end{matrix}\right.$

 

 

Tính đại nhá .
Do tứ giác ngoại tiếp nên AB+DC=AD+BC$=\dfrac{2}{\pi}+6$
Suy ra AD=$\dfrac{1}{\pi}+3$
Kẻ hai đường cao AH.Ta tính được $DH=\dfrac{6-\dfrac{2}{\pi}}{2}$
Từ đó ta tính được AH.Mà AH chính là đường kính của đường tròn đó => dt=3

 

Gọi tâm hình tròn nt là O, hình thang là ABCD

Kẻ OM, ON, OP lần lượt vuông góc vs AB, AD, DC

Chứng minh đc AOD là tam giác vuông

$\Rightarrow OM^{2}=MA.MD=\frac{3}{\pi }$

Diện tích hình tròn là 3
@Oral:Mình bị lộn (đã sửa )