Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

Bạn xem lại đề coi có nhầm lẫn gì không ,sao minh dựng cái hình trên máy rồi kiểm tra lại không đúng  

Không bạn ạ.

Điểm M và N ở chốn nào ra vậy bạn ???   

Xin lỗi. Mình đánh bị thiếu

Tìm a,b là số tự nhiên sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$.

Cho tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{A}=90^{0}$). Về phía ngoài tam giác dựng hình chữ nhật $BCDE$ có $CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}$. Gọi $K, H$ lần lượt là giao điểm của $ED$ với $AB$ và $AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $BC$ đối với $AD$ và $AE$ .Chứng minh rằng $BC^{2} = BM^{2} + CN^{2}$.

Cho tam giác $ABC$ có $EB=EC$ ($E\in BC$) sao cho $\widehat{EAB}=15^0; \widehat{EAC}=30^0$. Tính $ \widehat{C}$

góc C= 105 độ.

bạn có thể hướng dẫn giải được không?

Bài 1:Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13$

 

Áp dụng Bunhiacopsky cho VT:

$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(7-x+x+1)}$ 

<=>$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq4$ (1)

Mặc khác: $x^2-6x+13=(x-3)^2+4\geq 4$ (2)

(1),(2) => $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13=4$ => $x=3$

Cho $x,y \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$

Cho $(x_n)$ thỏa $x_0=0; x_1=45; x_{n+2}=3x_{n+1}+x_n$. Tìm số dư của $x_{2008}$ khi chia cho $2012$

Hình như bạn chưa đề cập $x$ là gì thì phải.

xin lỗi bạn mình gõ nhầm   

Từ giả thiết tương đương

$2(a^2c+b^2a+c^2b)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc$

$\Leftrightarrow 2[a^3+b^3+c^3-a^2c-b^2a-c^2b]\leq (a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a)+a^3+b^3+c^3-3abc$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}(2b+a)(a-b)^2 \leq \frac{1}{3}\sum (2a+b)(a-b)^2+\frac{1}{2}(a+b+c)[\sum (a-b)^2)]$

$\Leftrightarrow 4\sum (2b+a)(a-b)^2\leq 2\sum (2a+b)(a-b)^2+3(a+b+c)[\sum (a-b)^2]$

$\Leftrightarrow 3(a-b)^2(a+c-b)+3(b-c)^2(b+a-c)+3(c-a)^2(c+b-a)\geq 0$ (đúng vì $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M$ là một điểm bất kì trên đường tròn. Gọi $D, E, F$ là chân các đường vuông góc từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm $HM$.

Thật sự là mình không biết . Nhưng dấu bằng xảy ra không phải ở a=b=c

Cho $a,b,c>0$   và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR

$\frac{a}{a^3+bc}+\frac{b}{b^3+ac}+\frac{c}{c^3+bc}\geq 3$

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương, phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^{n}$ có ít nhất $n$ nghiệm nguyên $(x,y)$

Giải phương trình: $x.\frac{3-x}{x+1}(x+\frac{3-x}{x+1})=2$

thanks

Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}>2$

Cho $a,b$ dương. CMR:

$\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\leq \frac{4}{a+b}$

Cho $\bigtriangleup ABC$ : BC=a; AC=b; AB=c. Chứng minh $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}$.

Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$. CMR: $6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 27xyz+10(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$