1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm. Đường cao AD của tam giác cắt đường tròn tại M. Khi đó $\frac{HD}{HM}= ?$

2. Cho đường tròn (O) và tiếp tuyến PN của đường tòn tại N. Gọi M là trung điểm PN. $(O_{1})$ đi qua P, M cắt (O) ở A, B. Đường thẳng AB cắt PN ở Q. Ta được $\frac{QN}{QM}=?$ 

ĐK của a để hpt :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=a & \\ x+y=2a+1& \end{matrix}\right.$

có nghiệm duy nhất là ?

1.Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình $(2x+1)(x+1)^2(2x+3)=18$ là ?

2. Số nghiệm của pt :

               $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=12$

    là ?

3. Tích tất cả các nghiệm của pt :

     $5\sqrt{x^3+1}=2(x^2+2)$

Giá trị của m để pt : $(m-2)x^4 -mx^2 +m^2-4=0$ có đúng 3 nghiệm là ?

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$. 

$(x+y)^3\geq (x+y)^2 \Rightarrow (x-y-6)^2\geq (x+y)^2 \Rightarrow (y+3)(x-3)\leq 3 \Rightarrow x\leq 3$

Bạn ơi, mình chưa hiểu nữa, bạn chỉ thêm cho mình với. Sao lại suy ra được $(y+3)(x-3)\leq 3$   ???????

 Tìm nghiệm của phương trình :

a)  $\frac{x^8 +x^4-2x^2+6}{x^4+2x^2+3}= 11x^2-34$

b) $16x^4 +5=6\sqrt[3]{4x^3+x}$

Cho đa thức: $ax^2 +bx+c$ không âm với mọi x và 0<a<b. Biểu thức $B=\frac{a+b+c}{b-a}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi nào ?

A. b=2a=3c   

B. 3a=2b=c

C. b=3a=c

D. b=c=4a                                

1. Cho 2 đa thức $f(x)= x^2 -4abx+2a+3$ và $g(x)=x+\sqrt{7-4\sqrt{3}} ; (a,b\in \mathbb{Q})$ . Nếu $f(x)\vdots g(x)$ thì a=?; b=?

2.Cho đa thức P(x) thoả mãn $P(x-1)+2P(2)=x^2.$ . Giá trị của $P(\sqrt{2013}-1)=?$

Cặp số (x;y) thoả mãn pt: $x^2 +y^2 +6x-3y -2xy +7=0$ có y đạt GTLN là ?

Cho $x,y,z\geq 0$ chứng minh :
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}=2y^{2}-8y+3$
 

và phương trình nghiệm nguyên này nữa : 3x⁵ - x³ + 6x² -18x = 2001

Cho đường tròn (O;6) và cung AB có số đo $90^{\circ}$. Đường tròn tâm A, bán kính 6cm cắt cung AB tại C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với cung AB của đường tròn (O), cung OC của đường tròn (A) và đoạn OB. Chu vi đường tròn (I) là ?

1.Nếu pt $x^4 +ax^3 +2x^2+bx+1=0$ có nghiệm thì GTNN của $a^2+b^2$ là ?

2.Nếu pt $x^4 +ax^3 +bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thì GTNN của $a^2+b^2$ là ?

3.Biết : $5x^2 -5xy+y^2+\frac{4}{x^2}=0$ . GTNN của tích xy là ?

4.Cho $a,b,c> 0$ thoả mãn $21ab+2bc+8ac\leq 12$. Khi đó GTNN của $A=\frac{1}{a}+ \frac{2}{b}+\frac{3}{c}$ là ?

1. Với x>0. GTNN của $M=9x^2+3x+\frac{1}{x} +1420$ là ?

2. Cho a,b thoả  $a^2 +b^2=4a +2b+540.$ . Tìm GTLN của $P=23a+4b+2013$

3. Tìm GTLN của $P=x+\sqrt{2-x}$

1. Tìm GTNN của $S=\sqrt{x-1}+ \sqrt{2x^2-5x+7}$

2. Cho $x>0;y>0; x+y=2$

    Tìm GTLN của $B=2xy(x^2+y^2)$

Khi hai phương trình : $x^2 - mx+2m+1=0$ và $mx^2 - (2m+1)x-1=0$ có nghiệm chung thì nghiệm chung đó là $x=?$

Số số nguyên dương n để $(n^5-1)\vdots (n^3+1)$ là ?

Cho a,b,c thỏa mãn $a + b +c =6; 0\leq a,b,c\leq 4.$  
Tìm max của P =$a^2 + b^2+c^2 +ab+bc+ca$

Cho a,b,c dương thảo mãn abc =1. Tìm min của  A = a²/ (1+b) +b²/(1+c) +c²/(1+a)

 Cảm ơn bạn nhiều 

1. Tìm nghiệm nguyên của pt :
   a)    $5x +25=-3xy+8y^2$

   b)    $2(x+y)+16=3xy$

2. Tìm $x,y,z \epsilon \mathbb{Z^{+}}$ thỏa mãn :

  a) $\left\{\begin{matrix} x>y>z & & \\ 2^{x}+2^y +2^z=1408 & & \end{matrix}\right.$

  b)$\left\{\begin{matrix} x>y>z\\ 2^x +2^y+2^z=1344 \end{matrix}\right.$

  c) $xyz +x+y+z=xy+yz+zx+5$

3. Tìm nghiệm nguyên dương

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$

4. Tìm nghiệm tự nhiên của pt:

          $2^{x}+33=y^2$

1.Cho hình vuông ABCD, tâm O. Một đường thẳng xy quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt tại M,N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM. Gọi H là hình chiếu của K trên xy. Tìm quỹ tích điểm H. 

2. Cho (O;R) và điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn sao cho OA =3R. Một cát tuyến quay quanh A cắt (O) tại B và C. Các tiếp tuyến của đường tròn từ B và C cắt nhau tại M. Vẽ MH vuông góc OA. Tìm quỹ tích điểm M.

3. Qua điểm A nằm ngoài (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt OA tại H và cắt (O) ở E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC. CMR:

  a) EMOF là tứ giác nội tiếp

  b) AE, AF là các tiếp tuyến của (O)

4.Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Trên cung BC lấy điểm D di động. dây AD cắt OC ở E. Tiếp tuyến tại D và đường thẳng vuông góc với OC vẽ từ E cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M.

                                                                                                                           ( các bài quỹ tích xin giải đủ phần thuận, giới hạn, đảo)

1. Tính tổng nghịch đảo tất cả các nghiệm của pt: 

                     $25\sqrt{25x+4} +4=x^2$

2.Gpt:
     $x^2 +\frac{4x^2}{(x+2)^2}=12$