Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$

Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$

2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$

Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$

Cho tam giác ABC có AB=c, CA=b,BC =a và min(A,B,C)= 15⁰. Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Cho dãy số (U_n) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{0}=a, U_{1}=b, 0< a,b < 1& \\ U_{n+2}=\frac{1}{3}U_{n+1}+\frac{2}{3}\sqrt{U_{n}}, n=0,1,2,... & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim U_{n}$.

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

Giải phương trình :

$4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

$x_{1},x_{2},x_{3}$ > 0 là 3 nghiệm của phương trình :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 (a\neq 0)$. Chứng minh $x_{1}^{7}+x_{2}^{7}+x_{3}^{7}\geq -\frac{b^{3}c^{2}}{81a^{5}}$

Chứng minh rằng dãy số $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$  $(n\geq 1)$ không có giới hạn

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-1=abc$, Tìm GTNN của: P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Cho a,b,c $\geq$0 thỏa mãn a+b+c=1006. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$

tinh tich phan \[\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \]

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cotx =\lim_{x\rightarrow 0} (-ln|sinx|)=+\infty$

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) (AB<AC). Vẽ 2 đường cao AD, CE của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M. Từ M kẻ tiếp tuyến thứ 2 của (O) (N là tiếp điểm). Vẽ CK vuông góc với AN tại K. Chứng minh DK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE.

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3

Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2abc+1$

Tìm GTLN của $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

Bạn xem tại đây : http://diendantoanho...rac32/?p=552669

Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1, tìm GTLN của $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$

@Dinh Xuan Hung:Chú ý cách đặt tiêu đề

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\sqrt{2x^{2}-4x+10}+\sqrt{2x^{2}+6x+5}$

Cho 2017 điểm thỏa mãn trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm sao cho đoạn thẳng tạo bởi chúng có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 các điểm cho trên.

Cho các số thực x,a,b,c thỏa mãn x+a+b+c=7 và $x^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=13$. Tìm GTLN và GTNN của x

1. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}$+$\frac{c^2a}{b^3(a+c)}$+$\frac{a^2b}{c^3(a+b)}$ $\geq$$\frac{a+b+c}{2}$

2 Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì CMR:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Câu 1. thay a = b = c = 2 thì BĐT sai