Anh cho em hỏi có cần mang theo đồng phục của trường mình không ạ ?

Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép đó bạn. Cái này mình đọc trong Tài liệu chuyên toán 10 Hình.

Ở đây là phép chiếu xuyên tâm E, đi từ đường thẳng BC đến đường thẳng AG.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn khác tam giác cân nội tiếp đường tròn $\omega$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với đỉnh $A,B,C$ là $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFI$ cắt $\omega$ tại $A_{1},A_{2}$.

$a)$ Chứng minh các đường thẳng $A_{1}A_{2}, EF, BC$ đồng quy.

$b)$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIF$ cắt $\omega$ tại $B_{1},B_{2}$; đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIE$ cắt $\omega$ tại $C_{1},C_{2}$. Các đường thẳng $A_{1}A_{2}, B_{1}B_{2}, C_{1}C_{2}$ đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác, chứng minh rằng diện tích tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

a) Bằng các biến đổi góc, ta dễ có $\widehat{BFE}$+$\widehat{BCE}$=180$^{\circ}$$\Rightarrow$BCEF nội tiếp.

    Ta có BCEF nội tiếp, BA₁A₂C nội tiếp, FA₁A₂E nội tiếp $\Rightarrow$ BC là trục đẳng phương của $\omega$ và (BCE), 

    A₁A₂ lá trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE), EF là trục đẳng phương của (BCE) và (FIE)

    Suy ra BC, EF, A₁A₂ đồng quy.

b) Dễ thấy FAIB nội tiếp.

    Ta có AB là trục đẳng phương của $\omega$ và (FAB), IF là trục đẳng phương của (FIE) và (FAB),     A     ₁A₂ là trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE) $\Rightarrow$ AB, A  ₁A₂, FI  đồng quy (1).

    Ta có B₁B₂ là trục đẳng phương của $\omega$ và (FID), IF là trục đẳng phương của (FIE) và (FID),     A     ₁A₂  là trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE) $\Rightarrow$ B ₁B₂, A₁A₂, IF đồng quy (2).

    Từ (1) và (2) suy ra    B₁B₂, A₁A₂, IF, AB đồng quy  $\Rightarrow$ Giao điểm của A  ₁A₂ và B₁B₂ là chân đường phân giác từ

    đỉnh C của $\Delta$ABC.

    Tương tự đối với A₁A₂ và C₁C_2,  C₁C₂ và B₁B₂.

    Vậy tam giác tạo bởi 3 đường thẳng   A ₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ là tam giác tạo bởi chân 3 đường phân giác trong $\Delta$ABC.

    Gọi các chân đường phân giác là M, N, P.

    Ta có :$\frac{S_BMP}{S_ABC}$=$\frac{BM.BP}{BC.BA}$=$\frac{c}{b+c}$.$\frac{a}{a+b}$$\frac{ac}{(a+b)(b+c)}$

    Tương tự: $\frac{S_APN}{S_ABC}$=$\frac{bc}{(a+b)(c+a)}$, $\frac{S_CMN}{S_ABC}$=$\frac{ab}{(b+c)(c+a)}$

  Vậy :$\frac{S_BPM}{S_ABC}$+$\frac{S_APN}{S_ABC}$+$\frac{S_CMN}{S_ABC}$ = $\frac{$\sum$ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$=T

  Ta có: T=$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

               $\geqslant$$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-(a+b)(b+c)(c+a)/4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$=3/4

  Ta có: $\frac{S_MNP}{S_ABC}$=1-T$\leqslant$1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$

   Dấu "=" không xảy ra do tam giác ABC không đều $\Rightarrow$ đpcm

Bài 6 (Trường LHP): Cho D là điểm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle$CAD=$\angle$CBA. Một đường tròn tâm O đi qua B và D lần lượt cắt AB, AD tại E, F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

Bổ đề: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD cắt BC tại Q. AB cắt CD tại P. AC cắt BD tại I. Khi đó O là trực tâm tam giác IPQ.

Trở lại bài toán ban đầu:

Gọi H=EF$\cap$BC, K=EF$\cap$AG, J=AG$\cap$BC.

Ta có: $\angle$EFA=$\angle$ABD$\Rightarrow$$\angle$EFA=$\angle$DAC$\Rightarrow$EF//AC

Áp dụng bổ đề ta có O là trực tâm tam giác AGH $\Rightarrow$ HG vuông góc AO. Ta cần C/m CM//HG.

AJ, BF, DE đồng quy, H=EF $\cap$BC $\Rightarrow$(BDJH)=-1

$\Rightarrow$(AGJK)=-1(Phép chiếu xuyên tâm E).

Mà M là trung điểm AG nên 

$\overline{JG}$.$\overline{JA}$=$\overline{JK}$.$\overline{JM}$(Hệ thức Maclaurin)$\Rightarrow$JG.JA=JK.JM

$\Rightarrow$$\frac{JA}{JK}$=$\frac{JM}{JG}$

Lại có $\frac{JA}{JK}$=$\frac{JC}{JH}$ (do EF//HG) nên $\frac{JM}{JG}$=$\frac{JC}{JH}$$\Rightarrow$GH//MC$\Rightarrow$đpcm

Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?

Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.

Dấu mũi tên nghĩa là sao vậy bạn ?

Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$

Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)

Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$

                 $\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)

Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$

       $\Rightarrow$ đpcm

Cho a, b, c > 0 và a²+b²+c²+2abc=1.

Chứng minh a²+b²+c²$\geq$4(a²b²+b²c²+c²a²)

Ai giúp mình câu 5 với ?

Đặt $A= \sum \frac{1}{11+a^2}$

Từ giả thiết suy ra $0< a, b, c, d< 4$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{11+a^2}\leq \frac{1}{6}-\frac{a}{12}, \forall a\in \left ( 0;4 \right )$ (1)

Ta có: (1)$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2\left ( a-5 \right )\leq 0,\forall a\in \left ( 0;4 \right )$  (đúng)

Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A\leq \frac{2}{3}-\frac{a+b+c+d}{12}= \frac{2}{3}-\frac{4}{12}= \frac{1}{3}$

hôm nay mới có thời gian vào diễn đàn

cảm ơn bạn

Cho các số nguyên dương $b, m, n$. Trong đó $b>1$ và $m>n$. Chứng minh rằng nếu $b^m-1$ và $b^n-1$ có cùng các ước nguyên tố thì $b+1$ là lũy thùa của $2$.

Em cũng không tải được

Vì $a, b, c>0$ thỏa $abc= 1$  nên tồn tại các số dương $x, y, z$ sao cho $a= \frac{x}{y};b= \frac{y}{z};c= \frac{z}{x}$

Cần chứng minh $A=\sum \frac{\frac{x^2}{y^2}}{\left ( \frac{x}{z}+2 \right )\left ( \frac{2x}{z}+1 \right )}\geq \frac{1}{3}$

Ta có: $A= \sum \frac{x^2z^2}{\left ( xy+2yz \right )\left ( 2xy+yz \right )}\geq \sum \frac{4x^2z^2}{9\left ( xy+yz \right )^2}\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{zx}{xy+yz} \right )^2\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{2} \right )^2= \frac{1}{3}$

    $\Rightarrow$ đpcm              

Có ai làm bài hình chưa? Chỉ cho mình với

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Hình như nhầm rồi Tùng. Phải chứng minh (c-ka) và (d-kb) đều không âm đã. Mà nếu tiếp tục thì làm sao có k=1 được. Chỗ kia là d=kb mà, mày ghi là b=kb

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x+y+z=1.

Chứng minh $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng tính chất của tứ giác điều hòa và định lý Ptôlêmê vào các tứ giác nội tiếp và điều hòa nói trên,

ta được: AC.BD=2AB.CD (1)

              AF.DE=$\frac{1}{2}$AE.DF (2)

              BD.AF=AB.DF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra AC.DE=AE.CD $\Rightarrow$ ACDE là tứ giác điều hòa.

Sử dụng bổ đề rồi làm sao nữa vậy ?

Bạn Dinh Xuan Hung nhầm chỗ dấu bằng rồi.

Dấu "=" phải là $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow$$\begin{cases} & \text a=\sqrt3 \\ & \text b= 2\sqrt3\\ & \text c= 3\sqrt3 \end{cases}$

Cho $0< a< c< d< b$, $a+b= c+d$.

Giải pt $\sqrt{x+a^2}+\sqrt{x+b^2}= \sqrt{x+c^2}+\sqrt{x+d^2}$

Bạn Huong TH Phan tính toán nhầm rồi. Đề đúng vẫn là abc chứ không phải là 2abc đâu.

$x_{5}+x_{6}= -c\Leftrightarrow ab+\sqrt{\left ( a^2-4 \right )\left( b^2-4 \right )}= -2c\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc= 4$