Bài 132: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$
Giải
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \geq \dfrac{5}{6}& \\8x^2 - 10x + 3 \neq 0 & \end{matrix}\right.$
Nhận thấy:
$VT = \sqrt[6]{6x - 5} \leq \dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6x - 5}{6} = x$
Vì vậy, để phương trình ban đầu có nghiệm thì:
$\dfrac{x^7}{8x^2 - 10x + 3} \leq x $
$\Leftrightarrow x^6 - 8x^2 + 10x - 3 \leq 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 7x + 3) \leq 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)^2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3) \leq 0 \, (\bigstar)$
Nhận thấy:
$x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3 = (x^2 + x)^2 + 2(x + 1)^2 - 5 > 0 \, \forall \, x \geq \dfrac{5}{6}$
Vì vậy, $\bigstar$ xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Thử lại, ta nhận giá trị này.
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.