Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$

Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?

$\Gamma$ 

$Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}.Tính  giá  trị  của  biểu  thức A=f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+ f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$

$f(x)+f(1-x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}+\frac{(1-x)^3}{1-3x+3x^{2}}=1=>...<=>A=1005+f(\frac{1006}{2012})=...$

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.

Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 60 độ biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 60 độ → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó. 
Ta có 

• BI = IJ
• AI = A’J

Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau

• Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ
• Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.

Vậy I là điểm cần tìm

Nguồn: https://diendan.hocm...r-rocky.117942/

 

Hai vợ chồng nhà kia sinh được một cậu con trai dễ thương mạnh khỏe. Nay đã bốn tuổi rồi… Một đêm nằm chưa ngủ được cô tâm sự với chồng.

Anh ah! Con vẫn …bú… dù em đã hết …sữa rồi ! nó vẫn cứ nhằn thôi . Nhiều hôm em đau quá không chịu được.

Người chồng cũng xót xa tiếc vợ. Rồi cũng cười nhẹ và nói.

Anh đã có cách, em bôi chút dịch gì đó vào nó bú thấy khó chịu là bỏ liền. Đêm đó người chồng lấy một lọ màu vàng ra và bôi vào nhũ hoa vợ. Hôn vợ yêu một cái cái rồi đi trực ca đêm. Đã giữa đêm rồi người chồng chợt nhớ ra là mình đã lấy nhầm lo thuốc cực độc bôi cho vợ. Anh thốt lên thôi chết rồi ba giết con rồi. Anh liền lên xe tức tốc lao về nhà. Khi về tới nhà anh thấy mọi người đang đúng rất đông quanh nhà mình.

Biết con có chuyện chẳng lành anh lại than lên trong tuyệt vọng. Con ơi ! ba giết con rồi !

Trong nhà thì phát ra tiếng xôn xao người thì bảo kệ mẹ nó cho nó chết. Người lại bảo gọi xe cấp cứu. Người cha lại càng thêm tuyệt vọng khụy gối trước cổng than khóc. Chợt có ai vỗ vào vai mình người cha vô cùng bất ngờ khi nhìn đó là con trai mình.

Lúc đó cậu khẽ nói ba ơi! sao chú hàng xóm tự nhiên lại chết trong nhà mình…

 

Đọc truyện ko bt nên khóc hay nên cười     

Cách khác:

Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$

$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$

$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$

Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)

$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$

Vậy, ...

 

 

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$

$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$

$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$

Vậy, ...

Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$ thì $m\vdots n$

Đặt $m=k.n+r(k,r\in\mathbb{N};0\leq r <n)$

$=>2^m+1=2^{k.n+r}+1=2^r(2^{k.n}+1)-(2^r-1)\vdots2^n+1$

$<=>2^r-1\vdots2^n+1(Vì 2^{k.n}+1\vdots 2^n+1)$

Mà $\begin{vmatrix}2^r-1\end{vmatrix}<2^n+1(Do 0\leq r<n)$

$=>2^r-1=0<=>r=0<=>m\vdots n(ĐPCM)$

Giai phuong trinh

1, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$

ĐKXĐ: $x\geq -1$

Pt đã cho

$<=>\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}[x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}]=2x$

$<=>x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x+3}<=>(x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0<=>...$

Giai phuong trinh

2, $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-4}{3}$

Pt đã cho

$<=>x^2+x+2[(x+2)-\sqrt{3x+4}]+3[(x+3)-\sqrt{5x+9}]=0$

$<=>x(x+1)[1+\frac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}+\frac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}]=0<=>...$

4, $\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4$

ĐKXĐ: ...

Pt đã cho

$<=>2x^2+16x+18+x^2-1+2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=(2x+4)^2$

$<=>x^2-1-2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=0<=>\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-2\sqrt{2x^2+16x+18})=0<=>...$

3, $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

ĐKXĐ: $x\geq -8$

Vì $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4>0=>x+1>0<=>x>-1$

Pt đã cho

$<=>(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2<=>...<=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$

$<=>x=1 hoặc x^3+2x^2+x-8=0$

Xét $x^3+2x^2+x-8=0$

Đặt $x=t-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2}>1<=>t> \frac{-1}{3})$

Thay vào

$=>...<=>27t^3-9t=218$

Đặt $3t=y(t>\frac{-1}{3}<=>y>-1)$

$=>y^3-3y=218

$+)$Xét $-1y<2=>y^3-3y=(y-2)(y+1)^2+2<2<218 ( Loại )$

$+)$Xét $y\geq 2$

Lúc này, ta có thể đặt $y=a+\frac{1}{a}(a>0)$

Thay vào

$=>(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a})=0<=>a^3+\frac{1}{a^3}=218$

$<=>a^6-218a^3+1=0$

$<=>...<=>a^3=109\pm 6\sqrt{330}$

$<=>a=\sqrt[3]{109\pm 6\sqrt{330}}$

$<=>...<=>x=\frac{\sqrt[3]{109-6\sqrt{330}}+\sqrt[3]{109+6\sqrt{330}}-2}{3}$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy$,...$

5, $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$

ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 3$

Pt đã cho

$<=>(x+2)(x^2-x-2)+\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-\sqrt{2+x}+\begin{vmatrix}x-1\end{vmatrix}-\sqrt{3-x}=0$

$<=>...<=>x^2-x-2=0<=>...$

6, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $0<x\leq 1$

Pt đã cho

$<=>(1-x)(1+x^2)^2=x(2x+x^2)^2<=>...<=>(2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0<=>...$

Gõ lại đề cẩn thận giùm. 

Câu 4:[attachment=35161:xDDD.JPG]

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

$2^{x}=x+1$

Áp dụng BĐT Bernoulli

$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$

Dấu $"="$ phải xảy ra

$=>x=0;x=1$

Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

ĐKXĐ: $x\leq -1 hoặc 0<x\leq1$

Dễ thấy $x>0=>0<x\leq1$

$VP=x(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}\leq \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}=\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}(x^2+1)=\sqrt{x-x^3}(x^2+1)$

$<=>VP\leq \frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}$

$<=>VT-VP\geq x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1-\frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}=...=\frac{x^4+x^3+(2x-1)^2+2-x}{2}>0(Vì 0<x\leq1)$

$<=>$ Phương trình vô nghiệm

Vậy$,...$

Cho ánh xạ $f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ với $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$

Tìm $A=\left \{ y|y=f(x),x\in \mathbb{R},x>0 \right \}$

Xét $0<x<1$ và $x>1$

$=>...=>A=(-\infty ;-3)\bigcup(0;+\infty)$

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện 

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e,\forall x,y\epsilon \mathbb{R} (a,b,c,d\neq 0;b\neq -ac)$(mk ko bt ký hiệu của "thuộc")

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

ĐKXĐ: $\frac{-3}{2}\leq x\leq 4$

Ta có:

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

$=>x^2(3x+2)+(4-x)+2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=2(x^2+1)(x+3)$

$<=>2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=-x^3+4x^2+3x+2$

$=>4x^2(3x+2)(4-x)=(-x^3+4x^2+3x+2)^2$

$<=>x^6-8x^5+22x^4-20x^3-7x^2+12x+4=0$

$<=>(x-2)^2(x^2-2x-1)^2=0$

$<=>x=2;x=1+\sqrt{2};x=1-\sqrt{2}$

Thử lại$($Do ở trên có 2 dấu $"=>)$

$=>x=2;x=1+\sqrt{2}$ thỏa mãn, loai nghiệm $x=1-\sqrt{2}$

Vậy,...

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+5\sqrt{1-\frac{1}{x}}+2=3x+\frac{2}{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Pt đã cho

$<=>\sqrt{x^3-x}+5\sqrt{x^2-x}=3x^2-2x+2>0(Vì x\geq 1>0)$

$<=>x^3-x+10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}+25(x^2-x)=(3x^2-2x+2)^2$

$<=>9x^4-13x^3-9x^2+18x+4-10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}=0$

$<=>9(x^2-x-1)^2+5[(x^3-x)-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}]=0$

$<=>9(x^2-x+1)^2+5(x-1)\frac{(x^2+x+1)^2-4x^2(x+1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}=0$

$<=>(x^2-x-1)^2[9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}]=0$

$<=>x^2-x-1=0(Vì 9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}>0 do x\geq 1 )$

$<=>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(Vì \frac{1-\sqrt{5}}{2}<1\leq x)$

Vậy$, ...$

$-----------------------------------$

P/s: Nếu mấy bài phương trình bạn đã đăng mà bạn đã có cách giải thì bạn đăng lên luôn hộ mình nhé.

$x^2+2x+4=3\sqrt{x^3+3x}$

ĐKXĐ:......

Pt đã cho 

$<=>...<=>x^4-5x^3+12x^2-11x+16=0<=>...<=>x^2(x-\frac{5}{2})^2+(\frac{11x}{8}+4)^2+\frac{247}{64}x^2>0\forall x\in \mathbb{R}$

$<=>$Pt vô nghiệm.

cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$

cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

CMTT

$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$ 

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$

$=\sqrt{82}=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

$8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$

ĐKXĐ: $x\neq0$

+)Xét $x>0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}=8x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq3\sqrt[3]{8x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}>\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}\leq x< 0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}<8(\frac{1}{2})^2<\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}>x$

$=>x< \frac{-\sqrt{15}}{12}$

$=>$ Ta có thể đặt $x=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{5a}{3})(a\in \mathbb{R})$

Thay vào pt ban đầu

$=>16x^3-5x=-2<=>...<=>\frac{1}{4}(\frac{1}{a^3}+\frac{125a^3}{27})=-2$

$<=>...<=>a=\frac{\sqrt[3]{-108+\pm\sqrt{8289}}}{5}$

$<=>...<=>x=\frac{5}{12}(\sqrt[3]{-108+\sqrt{8289}}+\sqrt[3]{-108-\sqrt{8289}})$

Thử lại thấy t/m.

Vậy,...