Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn $4x^{2} - (8y+11)x +(8y^{2}+14) =0$

Tìm y khi x lần lượt đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Mn có thêm bài tập về dạng này có thể gửi cho e tham khảo với ạ. E cảm ơn ) 

THEO MÌNH DẠNG BÀI NÀY BẠN DÙNG ĐK CÓ NGHIỆM BẬC 2 NHÉ ,GIỚI HẠN x là xong 

Em cảm ơn god ạ )Thế mà không nghĩ ra

THEO MÌNH DẠNG BÀI NÀY BẠN DÙNG ĐK CÓ NGHIỆM BẬC 2 NHÉ ,GIỚI HẠN x là xong 

Cơ mà đến khi ra được x max và min thì ta chỉ tìm được duy nhất y thôi ạ, do denta = 0 , như v đúng ko ạ 

Tìm $ x,y $ nguyên sao cho $ \frac{x^2 + 1}{y^2} + 4 $ là số chính phương 

Hình như câu này trong đề thi thử PTNK đúng ko bạn 

Em vẫn chưa hiểu đoạn xử lí $ ( n,n^2+ 2019) \neq  1 $ ạ. Mọi người giải đáp giúp em với ạ 

Vâng, vậy là 1 mùa TS cấp 3 đã qua. Cảm ơn diễn đàn nói chung và các thầy cô, anh chị, bạn bè nói riêng đã giúp đỡ em trong thời gian vừa qua. Em đã may mắn đậu vào ngôi trường mơ ước của mình là PTNK, lớp Toán. Một hành trang mới mở ra, em xin phép được xin ý kiến từ các anh chị rằng có nên tiếp tục " cày " để vào đội tuyển của trường, đi thi này nọ hay học tà tà ung dung để thi Đại học. Và nếu " cày " thì em nên bắt đầu từ những đâu, tham khảo sách như thế nào ạ. Tiện thể cho em xin tên luôn mấy cuốn sách nâng cao " chất lượng " mà các anh chị từng trải nghiệm qua. Em xin cảm ơn rất nhiều

Tìm $ p,q $ là các số nguyên tố thỏa : $ p^3 + 107 = 2q(17q + 24) $ 

Đề KHTN 2015 vòng 2 

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $ n^n +1 $ là số nguyên tố không vượt quá $ 10^{19}  $ 

$ VT = \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{2ab} + \frac{1}{2ab} + 8ab - 4ab \geq \frac{4}{(a+b)^2} + 2\sqrt{\frac{8ab}{2ab}} - (a+b)^2 \geq 4 + 4 - 1 = 7 $ 

Cho $ x,y$ là các số dương thỏa $(x+1)(y+1) = 4$

GTLN, GTNN của P = $\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}$ 

Ta chứng minh BĐT sau : $ a^4 + b^4 \geq ab.(a+b). $

Thật vậy:  $ a^4 + b^4 \geq  \frac{(a^2+b^2)^2}{2} = \frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{2} \geq \frac{2ab.(a^2+b^2)}{2} = ab. (a+b) $  

Áp dụng ta có :

$  P   \leq\frac{1}{ab(a^2+b^2)+c} + \frac{1}{bc(b^2+c^2)+a} + \frac{1}{ac.(a^2+c^2)+b} = \frac{1}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}+ \frac{1}{\frac{b^2+c^2}{a}+a} + \frac{1}{\frac{a^2+c^2}{b}+b} = \frac{c}{a^2+b^2+c^2} + \frac{a}{a^2+b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{3(a+b+c)}{(a+b+c)^2} = \frac{3}{a+b+c} \leq \frac{3}{3.\sqrt[3]{abc}} =1   $ 

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$ 

Đề đúng không bạn

VP = $ a^2.(mx^2 + n) + 2ab(mxy - n) + b^2.(my^2 + n) $ 

Đồng nhất hệ số ta có : 

$ mxy - n = 2 $ (1)

$mx^2 + n = 3$  (2)

$my^2 + n = 2 $ (3)

(1) + (2) : $ mx(x+y) = 5 $

(2)- (3) : $ m(x-y)(x+y) = 1 $

$ \Leftrightarrow  xm(x+y)(x-y) = x $ 

$ \Leftrightarrow  5(x-y) = x $ 

$ \Leftrightarrow  4x = 5y $ 

Thay $ y = \frac{4x}{5} $ vào (1) , ta được : 

$ m.\frac{4x^2}{5} - n =2 $ . Cộng với (2) , ta được: $ mx^2.\frac{9}{5} = 5$

$ \Rightarrow  mx^2 = \frac{25}{9} \Rightarrow  n = \frac{2}{9} $ 

Từ đó ta có $ m(ax + by)^2 = (\frac{5a}{3} + \frac{4b}{3})^2 $ 

Đồng nhất hệ số ta có $ m  = 1, x = \frac{5}{3}, y = {4}{3} $ 

Vậy $ m =1 , n = \frac{2}{9}, x =  \frac{5}{3}, y = {4}{3} $  

Phương trình  $\Leftrightarrow 16 y^4 -  24y^2 + 4 = 4x^2 \Leftrightarrow 16y^4 -24y^2 + 9 -5 = 4x^2 \Leftrightarrow (4y^2-3)^2-4x^2=5 \Leftrightarrow (4y^2-3-2x)(4y^2-3+2x)=5$. Đến đây xét ước là xong ạ hihi

 

CHo mình hỏi bài này tại sao theo FERMAT thì q là ước của 39.

 

FERMAT này là định lý nào ạ.

Mong cac cao thu giup do

 

Đó là định lí nhỏ Fernmat nhé. ( Tiện thể cho mình hỏi đây là tài liệu nào vậy bạn ? )

Câu 3:

Từ giả thiết suy ra  $b -c \equiv 15 $ (mod 31) $ \Rightarrow a \equiv 16 $ (mod 31).

Ta có $0 \equiv ab -c -1 \equiv 16(c+15) -c -1 \equiv 15c + 15.16- 1 = 15c + 22$ (mod 31)

 $\Rightarrow 15c \equiv 9$ (mod 31) $ \Rightarrow 5c \equiv 3$ (mod 31) (do $ (3,31) =1$). Tồn tại 1 số nguyên dương k để $  31.k  + 3 $ chia hết cho 5 và $ 1 \leq k \leq 4 $. Khi đó $ 5c \equiv 3$ (mod 31) $ \Leftrightarrow $ $ 5c  \equiv  31k  + 3 $ (mod 31). Chọn $ k = 2 $ ta được $ c  \equiv 13 $ (mod 31) $ \Rightarrow  b  \equiv  28 $ (mod 31).

Vậy $ a + bc  \equiv  16 + 13.28  \equiv 8 $ (mod 31).

Câu 4 a)

Theo định lí Viet cho phương trình bậc 3 ta có : 

  $\left\{\begin{matrix} b+ x_{1}+ x_{2}= -2a(1)\\ bx_{1} + bx_{2} + x_{1}x_{2} = 2a^2 +b (2)\\ bx_{1}x_{2} = -c (3) \end{matrix}\right.$

Từ (1) $ \Rightarrow b^2+ x_{1}^2+ x_{2}^2 + 2(bx_{1} + bx_{2} + x_{1}x_{2}) = 4a^2$ 

$ \Leftrightarrow  b^2+ x_{1}^2+ x_{2}^2 + 4a^2 + 2b = 4a^2 $ 

$ \Leftrightarrow  b^2+ x_{1}^2+ x_{2}^2 = 0 $. Suy ra $ b^2 + 2b \leq 0 $ hay $ -2 \leq b \leq 0 $ Vậy $ |b| \leq 2 $.

Ban co the giai thich cho minh sao gia thiet lai co b-c dong du 15(mod 31).Minh cam on

Từ giả thiết suy ra $ a +b - c - ( a - b + c - 1) $ chia hết cho 31 hay $ 2(b-c) + 1 $ chia hết cho 31, suy ra $ 2(b-c) \equiv  30 $ (mod 31 ) do $ ( 2,31)  = 1 $

Bài này có thể chứng minh điểm trùng nhau. Gọi $O$ là tâm ( ABC ). Phân giác $ \angle BAC $  là $ AI' $ cắt  $ (O) $ tại $ I' $ $ \Rightarrow $ $ I'$ là điểm chính giữa cung BC không chứa A suy ra $ OI' \bot  BC $ tại trung điểm $ BC $ suy ra $ OI'$ là trung trực $ BC $. Vậy $ I' \equiv  I $ (dpcm)

Mọi người ơi có ai có tài liệu về casio hay những cuốn sách về giải toán bằng máy tính cấp bậc thcs k cho e xin với

Mình thấy có mỗi cuốn Bồi dưỡng giải toán bằng Casio THCS à 

Topic vẫn còn hoạt động không anh ?. Em có một bài muốn đóng góp ạ .

$\mathbf{Đề   bài}: Giải pt : \frac{\sqrt{x+2}}{x + \sqrt{x}+1}  =1 $ 

Dễ thấy x khác 0, chia 2 vế của pt cho x , ta được

pt $  \Leftrightarrow (2+\frac{1}{x}).\sqrt{1+\frac{1}{x}}= 1 + \frac{2}{x} + \sqrt[3]{\frac{2}{x} + 1}  $ 

Đặt $ \sqrt{ \frac{1}{x}+1}  = a, \sqrt[3]{\frac{2}{x}+1}   =b $ , ta được 

$ (a^2+1).a = b^3 + b $

$  \Leftrightarrow  a^3 + a = b^3 + b $ 

$   \Leftrightarrow a = b $ 

Áp dụng Viet thôi bạn