SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
THÁI BÌNH NĂM HỌC 2023 - 2024
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 21/12/2023
Bài 1. a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $b(a+1)=1-a$
Tính giá trị của biểu thức $P=a\sqrt{\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}}}+b\sqrt{\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{(1+a^{2})(1+b^{2})}{4}}$
b) Chứng minh rằng biểu thức $Q=\sqrt{1+2023^{2}+\frac{2023^{2}}{2024^{2}}}+\frac{2023}{2024}$ là số tự nhiên.
Bài 2. 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm $A(-1;1)$, $B(-5;-3)$ và đường thẳng $(d):y=ax+b$
a) Tính diện tích tam giác OAB.
b) Tìm a, b biết đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=4\sqrt{2}$
2) Cho đa thức $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+2$ với a, b là các số hữu tỉ. Biết đa thức đã cho có một nghiệm là $x=2-\sqrt{3}$. Tìm các nghiệm còn lại của đa thức.
Bài 3. a) Giải phương trình $4x^{2}+3x+2=3\sqrt{x^{3}+3x^{2}+3x+2}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x-y}=2y+1+\sqrt{y+1} & \\ 8x^{3}-52y^{2}-15x+11=(x+3)\sqrt[3]{12y^{2}+6x-5} & \end{matrix}\right.$
Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\frac{x^{2}+yz}{x\sqrt{y+z}}+\frac{y^{2}+zx}{y\sqrt{z+x}}+\frac{z^{2}+xy}{z\sqrt{x+y}}$
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của NP với AH và AO, I là trung điểm của AH.
a) Chứng minh rằng $IN^{2}=IK.IM$
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BN và CP. Chứng minh rằng EF vuông góc với QM.
Bài 6. Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không giao nhau. Trên đường thẳng d lấy điểm A. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Đường thẳng BC cắt OA và OI lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng KE là tiếp tuyến của (O; R)
b) Chứng minh rằng khi A di động trên đường thẳng d thì H di động trên một đường tròn cố định.
Bài 7. Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn $a,b\neq -1$ và $\frac{(a-1)(a+1)^{2}+(b-1)(b+1)^{2}}{a+b+ab+1}$ là số nguyên.
Chứng minh rằng $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a^{2}+a$.
--- Hết ---