Bài 2 nhé
Đặt 2^m + 3ⁿ = x²
* Nếu m lẻ hay m = 2k+1
$\Rightarrow 2^{m}\equiv 2^{2k+1}\equiv 2.4^{k}\equiv 2(mod 3)$
$\Rightarrow x^{2}\equiv 2^{m}+3^{n}\equiv 2+0\equiv 2(mod 3)$
( vô lí )
=> loại
----
* Nếu m chẵn hay m = 2k
ta có
$x^{2}= 2^{2k}+3^{n}$
$\Leftrightarrow x^{2}- 2^{2k}=3^{n}$
$\Leftrightarrow (x-2^{k})(x+2^{k})=3^{n}$
$\Rightarrow x+2^{k}=3^{u} và x-2^{k}=3^{v}(u$\geq$v\geq 0)$
$\Rightarrow 2^{2k+1}=3^{u-v}(3^{v}+1)$
hay $\Rightarrow 3^{u-v}=3^{0}\Rightarrow u=v\Rightarrow k=0$
hay x²=5 (vô lí )
vậy suy ra đpcm

bài 1 cũng có thể dùng số hạng tổng quát và số chính phương mod cũng được

sao lại phải dùng schur nhỉ

giả sửa+b+c< 3\Rightarrow (a+b+c)^{3}< 27\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}< 1

bạn có nhầm không góc C'ED là góc giữa 2 mp A'ACC' VÀ ABC  chứ

cụ thể thì góc đó phải là góc EC'B' chứ bạn

1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc ABC =30, AB=4a, AA'=a.$\sqrt{13}$. Hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB.

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (A'B'C') và (ACC'A')

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và CC'.

2. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường cao của hình chóp là SA=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SD,CD.

a) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (BCM)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD

bài bất sử dụng bất đẳng thức chebyshev trực tiếp đoạn cuối có đánh giá một chút về hàm ta được đpcm bất đẳng thức xảy ra khi 3 số bằng nhau và bằng 1

bài pth có vẻ dễ xơi nhất 

dễ có f là một hàm đơn ánh ta chia 2 th như sau

th1 f(0)=-1 lúc này thay lần lượt x=y và x=0 rồi cho x=-f(x) ta tính được f(x)=-1 thử lại ktm

th2 f(0) khác 1 suy ra f là toàn ánh rồi suy ra f song ánh nên tồn tại duy nhất số thực a thỏa f(a)=0  

thế vào ta tính được a=0 hoặc f(0)=-1(đưa về th1)

khi a=0 hay ta có f(0)=a

thế lần lượt x=y,x=0 ta suy ra f(x)=x mọi x thực thử lại ta thấy thỏa vậy f(x)=x là nghiệm của bài toán

sao mình không tải được nhỉ (network error)

$a+b\geq ab\left ( 4-a-b \right )=4ab-\left ( a+b \right )ab \Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )\geq 4ab$

lai có

$\left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )\geq 4ab$(am-gm)

vậy bđt được cm xong

Bài 2. Dễ dàng chứng minh được $(a+3)^{2}\geq 8a+8$ 

Ta có $\frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}+c(a+b)^{2}}=\frac{64}{(a+b)^{2}(c+1)8}\geq \frac{64}{(a+b)^{2}(a+3)^{2}}$

Lai có $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (a+b)^{2}\frac{1}{4}$

Đến đây sử dụng $AM-GM$

thinhrost1 cứ làm mất hứng của mọi người 

lần sau đang giải muộn muộn thôi nhé

bài pth xét 4 TH dễ thấy f(2)=0 hoặc f(2)=2 

th1 f(2)=0, f(1)=0

th2 f(2)=0, f(1)=3

th3 f(2)=2, f(1)=2

th4 f(2)=2, f(1)=1

cuối cùng có 3 nghiệm hàm là f(x) đồng nhất bằng 2,0 hoặc f(x)=x  (x là số thực)

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....

giải hệ phương trình {x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2){x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2)

từ pt2 suy ra $y^{2}=4+5x^{2}\rightarrow y^{3}=4y+5yx^{2}$ thế vào pt1 

ta được $x^{3}=5yx^{2}+16x\rightarrow x(x^{2}-5xy+16)=0$

đến đây chắc mi giải ra rồi

Khi tôi đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi"-Roronoa Zoro(mi có câu hay đấy)

chỗ này tại sao nhỉ

D(QJPM)=−1

D(QJPM)=−1

sao mình không xem được nhỉ

ta có $a(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow a^{2}b+a\geq a^{2}+ab$tương tự ta suy ra

$\sum a^{2}b+ab+bc+ac\geq (a+b+c)^{2}-(a+b+c)= (a+b+c)(a+b+c-1)\geq 2(2-1)=2.1=2$

Cho f(x),g(x) là các đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: $P(x)=f(x^{3})+xg(x^{3})$ chia hết cho $x^{2}+x+1$. Chứng minh: gcd( f(2006),g(2006))$\geq$2005

dễ dàng cm x và y là 2 số nguyên dương $1+x+x^{2}+x^{3}=\left ( x+1 \right )\left (x ^{2} +1\right )=19^{y}$

x=0 thì y=0(tm)

x=1 thì y không tm

x>1 ta có y>1$x^{2}+1\geq x+1$ và$x^{2}+1$chia hết cho x+1

mặt khác x chẵn nên x+1 lẻ vì vậy$\left (x ^{2}+1,x+1 \right )=1$

do đó x+1=1 ktm

vậy x=y=0

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $d,$ tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n! \vdots dn^{2}+1.$

Cho tam thức f(x)=$x^{2}+mx+n$ (m,n là số nguyên ). CMR: tồn tại số nguyên k sao cho f(k)=f(2017).f(2018)

biết là thế nhưng mình vẫn không hiểu suy nghĩ thế nào để suy ra lượng (ab+ma+n) thỏa mãn mình hỏi là để biết được có hướng phân tích nào không hay chỉ là biến đổi khéo léo ?