Cho tam giác ABC nhọn nõi tiếp đường tròn (O).Gọi P là một điểm bất kì trên đường đối trung tại đỉnh A của tam giác ABC. BP,CP lần lượt cắt CA,AB tại E,F.Gọi (AEF) cắt (O) tại Q .Tiếp tuyến tại A của (AQP) cắt BC tại T .Chứng minh rằng : TA = TP.

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP Hà Nội 

Ngày 30/09/2017

Bài 1. (4 điểm) Cho $x, y, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

Bài 2. (4 điểm) Cho hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện 

$f(tanx)=\frac{1}{2}sin2x-cos2x$       $\forall x\epsilon (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

Tìm giá trị lớn nhất là nhỏ nhất của biểu thức  $f(sin^{2}x).f(cos^{2}x)$ $(\forall x\epsilon R)$

Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB< AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BN=BA$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc với  $MP$ và đường thẳng $AP$, $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ chia đôi $EF$.

Bài 4. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho: 

$(P(x))^{2}=2P(x^{2}-3)+1$   $(\forall x\epsilon R)$

Bài 5. (4 điểm) Với mọi $n\epsilon \left \{ 1,2,3 \right \}$ , ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;n+2;(n+2)^{2};(n+2)^{3};...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y² + z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện min {a,b,c} > 2004

Cho a,b >0 thỏa mãn  $9a^{2}+4b^{2}=9$ . tìm Min $A=(1+a)(\frac{3}{2b}+1)+(1+\frac{1}{a})(\frac{2b}{3}+1)$

Cho 3 số a,c,c thỏa mãn :  $0\leq a,b,c\leq 2$ và a+b+c=3 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

                        P=$4a^{3} + 4b^{3} + 4c^{3} + (a+b)(b+c)(c+a)$

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y² + z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện min {a,b,c} > 2004

Cho x và y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y\(\leq \)1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}+1}{4y^{2}}.\frac{y^{2}+1}{4x^{2}}$

Bài 1 : Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y²+z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện Min a,b,c > 2004

Em đã hỏi rất nhiều trên diễn đàn nhưng không thấy ai trả lời giúp có gì mong các anh chị giúp

Lời giải

Bài toán là mô hình của đề TST 2006. Thực chất thì nó chỉ là một bài khá là đơn giản (tricky).

.

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $(d):2x-y=0$ với trung trực của $DE$.

Đến đây ta dễ dàng tìm ra tọa độ của điểm $K$. Để ý rằng tứ giác $AEDK$ là tứ giác nội tiếp. (Có thể tham khảo ở bài hình của TST) hoặc chứng minh bằng cộng góc.

Từ đó sử dụng tích vô hướng ta sẽ tìm ra tọa độ điểm $A$ 

Lời giải

Gọi $Z,V$ lần lượt là giao điểm của $MD$ với $AH,HI$. Ta có kết quả quen thuộc là $AD$ là tia phân giác của $\widehat{HAO}$. 

Suy ra $\widehat{ZAI}=\widehat{DAQ}=\widehat{DMQ}\Rightarrow$ Tứ giác $AMZI$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{AZI}=\widehat{AMI}=90^{0}$ $\Rightarrow ZI//BC$.

Gọi $L$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Ta có: 

$\frac{ZH}{ZA}=\frac{IL}{IA}=\frac{BL}{BA}=\frac{DL}{DB}=\frac{DB}{DA}=\frac{DI}{DA}$           (1)

Lại áp dụng định lý $Menelaus$ vào tam giác $AHI$ với cát tuyến $DZV$ ta có:

$\frac{VH}{VI}.\frac{DI}{DA}.\frac{ZA}{ZH}=1$                       (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh!

K là điểm gì ?

Kính chào các anh chị VMF , hôm nay viết bài này em muốn các anh chị giảng cho em về phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức , em có đọc tài liệu nhưng vẫn không hiểu cho lắm về cách viết phương trình tiếp tuyến!Mong các anh chị giúp em     

Chào mọi người mình muốn có tài liệu chuyên của các trường ở tỉnh thành Hà Nội và Thành phố HCM ai có thì up lên nhé

-Em lập topic này để mọi người thảo luận với nhau về các bài toán khó,ai có bài khó up lên nhé.Em mở đầu một bài

1,Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên a;b;c nghiệm đúng của phương trình x² + y²+z²=3xyz và thỏa mãn điều kiện Min a,b,c > 2004. ( Bài này em nghĩ 1 tuần rồi không ra đi hỏi thầy cô  thì bảo là để khi khác ) 

Bạn xem lại đề nhé

Bài này quen mà bạn! Có thể giải như sau:

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$, ta dễ dàng tìm được tọa độ trực tâm của tam giác $ABC$ từ phương trình hai đường cao. Có tọa độ trực tâm, trọng tâm nên ta tìm được tọa độ tâm ngoại tiếp $O$ (đường thẳng Euler). Đến đây ta tham số hóa điểm $A$ theo 1 ẩn ( $t$ chẳng hạn) thì ta sẽ tìm được tọa độ điểm $M$ (theo ẩn $t$) mà có $OM//=\frac{1}{2}AH$ nên ta tìm được tọa độ điểm $A$. Đến đây thì dễ rồi...............    

Lời giải của anh Cẩn đây bạn:

Link: http://voquocbacan.b...xcdot.html#more

Bài 1.

Tham số hóa tọa độ điểm $G$, gọi $P$ là trung điểm của $BC$ suy ra tọa độ điểm $P$ (theo $G$)

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ từ đó $\overline{PA}.\overrightarrow{PM}=0$ từ đó suy ra tọa độ điểm $P$.

Từ đó viết được phương trình đường thẳng $BC$

Bài 2.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng $AH$, tham số hóa điểm $A$, từ đó suy ra tọa độ các điểm $B$, $C$  (theo $A$).

Ta có kết quả $AH//=2OM$ suy ra tọa độ điểm $O$ (theo $A$)

Mà $OD$ vuông góc với $AB$ từ đó suy ra tính tích vô hướng là xong

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $T$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của $BC, CA,AB$ với $I.$ AD cắt (AI) tại G. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AI$ tại $Q$. Chứng minh rằng $B,F,Q,T$ đồng viên.

Với x,y là các số thực dương , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}} + \sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

Em muốn có tài liệu bdt thì vào mục tài liệu đề thi thấy cái này của bác 

Theo yêu cầu của em đây (gồm những thứ anh góp nhặt được)
http://www.mediafire...82z0m2ai86l2063

Tài liệu perfectstrong post lên cũng khá hay. 
Mình gửi thêm 1 cái

Quote

Xin tài liệu về bất đẳng thức và cực trị đây. Ai có thì post lên nha. Thanks

http://diendantoanho...showtopic=17991
Bác Nam có đưa lên một số tài liệu hay phết.

Mới gom 1 được 1 mớ BĐT 
TỪ NHIỀU NGUỒN TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC ) 
1/ Chuyên đề Bất Đẳng Thức của Nguyễn Tất Thu.
LINK: http://maichoi.vuica....uyentatthu.pdf

2/ Phương pháp tìm GTNN và GTLN của Phan Huy Khải.
LINK: http://www.mediafire.com/?l85m5sm2may

3/ Bất đẳng thức suy luận và khám phá của Phạm Văn Thuận.
LINK: http://www.mediafire.com/?cttma20zho2

4/ 500 Bất đẳng thức của Cao Minh Quang.
LINK: http://www.mediafire.com/?hwmikiymqyv

6/ Tổng hợp các Phương pháp C/minh BĐT của các bạn trẻ Việt Nam.
LINK: http://www.mediafire.com/?ni9jlmtzjxd

7*/ Tài liệu số 1 về BĐT hình học hiện nay.
LINK: http://www.mediafire.com/?w2m3d2ldcgh

8/ Các chuyên đề Bất đẳng thức của Hojoo Lee.
LINK: http://www.mediafire.com/?zzdxa2gmm2s

9/ Bất đẳng thức giải tích của D.S.Mitrinovid, P.M.Vasic.
LINK: http://www.mediafire.com/?yk3xysmxebw

10/ Các BĐT hay với nhiều cách giải của Titu andrees.
LINK: http://www.mediafire.com/?mgrxvjimalz

11*/ Một tài liệu cực hay về sáng tạo BĐT của Michael Steele.
LINK: http://www.mediafire.com/?2wcj1j3yrdx

12/ Bộ sưu tập BĐT của Võ Quốc Bá Cẩn.
LINK: http://www.mediafire.com/?hjdmnxdznxm

13/ Classical and New Qualities in Analysis.
LINK: http://www.mediafire.com/?tcylndbmd5z

14/ Bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình (PVThuận).
LINK: http://www.mediafire.com/?gmvno2dz4tj

15/ Bất đẳng thức từ các cuộc thi trên Thế Giới năm 2009.
LINK: http://www.mediafire.com/?llmyqyydzmm

16/ Bất đẳng thức Nesbit và ứng dụng của Nguyễn Anh Tuyền.
LINK: http://www.mediafire.com/?gyzhyznjyny

17/ Đẳng thức và Bất đẳng thức (GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu)
LINK: http://www.mediafire.com/?sjsutmynyvv

File gửi kèm   vnmath.com-19 PHƯƠNG PHAP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.doc

 Đáng buồn là 17 cái đều die rồi , ai có cho em xin lại link của 17 cái nhé 

anh nào có ebook cho em xin 

Bạn nói mông lung về kết quả đồng quy thế thì ai hiểu được! Để chứng minh đồng quy ta dùng bổ đề sau!

Ý tưởng có thể như sau:

- Viết phương trình đường thẳng $AH$, tham số hóa tọa độ điểm $A$

- Do $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HM}=0\Rightarrow$ tọa độ điểm $A$.

- Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, ta có kết quả $AH//=2OM\Rightarrow$ tìm được tọa độ điểm $O$.

- Viết phương trình đường thẳng $BC$, tham số hóa $B$ chú ý là $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra tọa độ điểm $C$ (theo $B$).

Do $OM$ vuông góc với $BC$, từ đó suy ra tọa độ điểm $B,C$