Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. tính $\frac{1}{BK^{2}}$ theo BC và AH

Trên tia đối của AC lấy F sao cho AF=AC,nối F và B,

Suy ra:AH là đường trung bình của tam giác FBC nên AH//FB

Mà:AH vuông  với BC

Suy ra:FB vuông với BC

*Xét tam giác BFC vuông tại B,đường cao BK

  Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác :$\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BF^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}$

Tìm GTNN:$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$

 Em muốn tìm lại bài toán trong tuần của mấy tuần trước mà em không bình luận hay thích thì làm thế nào ạ?

 

c) cmr: $\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$

$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n-\sqrt{n-1}})}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

Tương tự cho các số còn lại

$VT<2(\sqrt{1}-\sqrt{0})+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2\sqrt{n}-2\sqrt{0}=2\sqrt{n}$

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh =1. Trên các cạnh $AB,AD$ lần lượt lấy $P,Q$ sao cho chu vi $APQ$ =2.

a/ CM: $PB+QD = PQ$

b/ $\widehat{PCQ}=?$

a.QD+PB=AD-AQ+AB-AP

               =1-AQ+1-AP

               =2-AP-AQ

               =(AP+AQ+PQ)-AP-AQ

               =PQ

b.Trên tia đối của tia BA lấy K/BK=DQ

  CM:tam giác DQC=tam giác BKC,suy ra CK=CQ,góc DCQ=góc BCK.Do đó:góc QCK=góc DBC=90 độ

  CM:tam giác PCQ=tam giác PCK(c.c.c) ,suy ra góc QCP=góc PCK=1/2 góc QCK=90 độ

  Suy ra:gócPCQ=45 độ

 

 

BÀI 5: Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với k$\epsilon${1;2;3}. Người thắng là người lấy được số viên bi cuối cùng trong hộp.
1) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
2) Cũng câu hỏi đó, khi để thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương

 

1/Người T1 thắng.
Chiến thuật:Lần đầu người T1 lấy 3 viên bi,như vậy còn 308 viên bi.Chú ý rằng 308 chia hết cho 4
Sau đó người thứ 2 sẽ lấy k viên bi ,còn người T1 lấy 4-k viên bi,

mỗi lần người T1 đều làm như vậy thì sẽ thắng cuộc

2/Nếu n không chia hết cho 4 thì người T1 thắng với chiến thuật như trên 

  Nếu n chia hết cho 4 thì người T2 thắng

Tìm Nghiệm Nguyên Của Phương Trình
 
 $\left ( x-5 \right )^{2010}-\left ( x-6 \right )^{2010}=1$

Đặt x-6=y,pt thành$(y+1)^{2010}-y^{2010}=1\Leftrightarrow \left [ (y+1)^{1005} +y^{1005}\right ]\left [ (y+1)^{1005} -y^{1005}\right ]=1$

Vì x nguyên nên y nguyên ,suy ra  $(y+1)^{1005}-y^{1005}$ và $(y+1)^{1005}+y^{1005}$ nguyên

Ta xét 2 TH sau:

*TH1:$(y+1)^{1005}+y^{1005}=1 ,(y+1)^{1005}-y^{1005}=1\Rightarrow 2y^{1005}=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x-6=0\Rightarrow x=6$

*TH2:$(y+1)^{1005}+y^{1005}=-1,(y+1)^{1005}-y^{1005}=-1$

Tương tự

a^{2} + b^{2} =  c^{2} + d^{2} = 1 ; ac + bd =0 .
Chứng minh  ab +  cd = 0

Ta có:$ab+cd=ab.1+cd.1=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=abc^2+abd^2+cda^2+cdb^2=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)=bc.0+ad.0=0$

=>đpcm

 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $BC=2BA$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Điểm $N \in BC$ sao cho $BC=4BN$.

Chứng minh rằng $BM \bot AN$

 

Gọi K là trung điểm BC,I là giao điểm BM và AN

Suy ra:MK là đường trung bình của tam giác ABC

CMinh:tam giác BAN= tam giác KBM suy ra $\widehat{KMB}=\widehat{BNI}$$\Rightarrow \widehat{KMB}+\widehat{NBI}=\widehat{BNI}+\widehat{NBI}\Rightarrow \widehat{BKM}=\widehat{NBI}=90^{\circ}\Rightarrow BM\perp AN$

Giúp mình bài này với 

Tìm GTNN:

A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$

Đặt $M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$\Rightarrow M+3=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$

$\Rightarrow M+3=\frac{1}{2}\left [ (a+b)+(b+c)+(a+c) \right ](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})\geq \frac{1}{2}.3^2=4,5$ (bdt Cauchy-Schwars)

Đặt $N=\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 2+2+2=6$

$\Rightarrow A=M+N\geq (4,5-3)+6=7,5$  

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cho hình bình hành ABCD. Kẻ 2014 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia hình bình hành thành 2 hình thang có tỉ số S = $\frac{1}{3}$. Chứng minh trong 2014 đường thẳng đó có 503 đường thẳng cùng đi qua một điểm. 

Vẽ hai đường trung bình MN,PQ của hình bình hành(M,N thuộc AD,BC).

Gọi H là điểm nằm trên MN sao cho MH=1/3HN

Cminh đường thẳng đi qua H cắt AB,CD thì chia hình bình hành thành 2 phần có tỉ lệ diên tích bằng 1/3,

Tương tự bạn sẽ tìm được 3 điểm thoả mãn đề bài như H

=>2014 đường thẳng vẽ phải đi qua 1 trong 4 điểm trên

Áp dụng nguyên lí Đirichclê =>đpcm

Cứ bình phương 2 vế lên là được,nhưng cách này lâu và dễ nhầm

có thay ngược lại được không bạn

Có

Giải pt  a) 4x² +4x=$\sqrt{2x+2}$

            

*ĐK: $x\geq -1$

Đặt:$\sqrt{2x+2}=y(y\geq 0)$

$\Rightarrow y^2=2x+2\Rightarrow y^2-2=2x$

$\Rightarrow y^2(y^2-2)=y\Leftrightarrow y^4-2y^2-y=0\Leftrightarrow y(y+1)(y^2-y-1)=0$

Đến đây bạn tự giải tiếp nha.

Vì tổng các chữ số của a và 4a bằng nhau nên a và 4a có cùng số dư khi chia cho 9

=>4a-a=3a chia hết cho 9 =>a chia hết cho 3

=>đpcm

Cho hình bình hành ABCD,E thuộc BC.Gọi A',B',C' là chân đường vuông góc kẻ từ A,B,C xuống DE.CM AA =+BB'+CC'

Chỗ in đậm phải là AA'=BB'+CC'

Vì AD//BC $ \Rightarrow \widehat{ADA'}=\widehat{CEC'}\Rightarrow \bigtriangleup A'AD=\bigtriangleup C'CE$

$\Rightarrow \frac{CC'}{AA'}=\frac{CE}{AD}$

Tương tự: $\frac{BB'}{AA'}=\frac{BE}{AD}$

$\Rightarrow \frac{CC'+BB'}{AA'}=\frac{CE+BE}{AD}=\frac{BC}{AD}=1$

$\Rightarrow AA'=BB'+CC'$

Giải giúp em bài này với mai em phải nộp rồi ạ =.=

Cho tam giác ABC, trên cạnh AB,AC dựng 2 hinh vuông ABEF và ACGI, K là trung điểm FI.chứng minh AK,BG, CE đồng quy

 Dựng hình vuông ra phía mp nào

Giải giúp em bài này với mai em phải nộp rồi ạ =.=

Cho tam giác ABC, trên cạnh AB,AC dựng 2 hinh vuông ABEF và ACGI, K là trung điểm FI.chứng minh AK,BG, CE đồng quy

Nếu vẽ 2 hình vuông về 2 phía ngoài tam giác thì làm như sau:

Vẽ đường cao AH,H thuộc BC.CM:A,K,H thẳng hàng bằng cách lấy điểm đối xứng với A qua K rồi cm hai tam giác bằng nhau.

Trên tia đối của AH lấy J sao cho A J=BC.

Gọi M,N là giao của JB và EC,JC và BG

Cm JB vuông với EC,JC vuông với BG

=>tam giác JBC có 3 đường cao đồng quy.

 Chắc gợi ý thế là bạn làm được rồi nhỉ.

Giải phương trình:$4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

*ĐK:$x\geq 1$

$PT\Leftrightarrow -\sqrt{x+1}=x+3-2.2.\sqrt{x+3}+4$

$\Leftrightarrow -\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+3}-2)^2$

$\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{x+3}-2=0$

$\Rightarrow x=1$

 

2/ Tìm k là số tự nhiên để trong dãy : k+1,k+2,...,k+10 có nhiều số nguyên tố nhất

*k=0 thì có 4 số nguyên tố trong dãy.

*k=1 thì có 5 số nguyên tố trong dãy

*k>1,ta xét 2 TH:

 TH k=2n(n là số tự nhiên >1)

=>k+2;k+4;k+6;k+8;k+10 là hợp số

Còn lại là 2n+1;2n+3;2n+5;2n+7;2n+9

Ta thấy 2n+5;2n+7;2n+9 là 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp nên có 1 số trong 3 số trên chia hết cho 3,mà các số này >3,do đó trong 3 số trên có 1 số là hợp số.

=> k=2n thì dãy có nhiều nhất là 4 số nguyên tố

 TH k=2n+1

Tương tự trên

Vậy k=1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất

$4x^{2}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

*ĐK: $x\geq 1/2$

$PT\Leftrightarrow x+3-2.2x\sqrt{x+3}+4x^2+2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2x)^2+(\sqrt{2x-1}-1)^2=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+3}-2x=\sqrt{2x-1}-1=0$

$\Leftrightarrow x=1$

1. Chứng minh 2(a⁸ + b⁸  ) $\geq$ (a⁵ + b⁵ )(a³ +b³)

 

BDT$\Leftrightarrow 2(a^8+b^8)\geq a^8+a^5b^3+a^3b^5+b^8\Leftrightarrow (a^5-b^5)(a^3-c^3)\geq 0$(đúng vì $a^5-b^5$ và $a^3-b^3$cùng dấu)

$(x+\sqrt{x^{_{2}}+3})(y+\sqrt{y^{_{2}}+3})=3$. Tính x + y

Ta có: $\sqrt{y^2+3}-y> \sqrt{y^2}-y=\left | y \right |-y\geq 0\Rightarrow \sqrt{y^2+3}-y> 0$

$\Rightarrow (x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})(\sqrt{y^2+3}-y)=3(\sqrt{y^2+3}-y)$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+3})3=3(\sqrt{y^2+3}-y)$

$\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+3}-\sqrt{x^2+3}$   (1)

Tương tự  $x+y=\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}$          (2)

Lấy (1) cộng (2) =>x+y=0