Cho a+b+c=3.Chứng minh rằng:

a,$\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geqslant 0$

b,$\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

Cộng thêm 3 vào mỗi nhân tử ta được $\Leftrightarrow \sum \frac{3(a+1)}{ab+1}\geq 9$

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

Tớ cũng đến đó rồi , giải cụ thể ra cái

Ta cần chứng minh:

$\dfrac{a+1}{ab+1}+\dfrac{b+1}{bc+1}+\dfrac{c+1}{ca+1}\ge 3$.

 

Dùng AM-GM 3 số cho vế trái ta quy về chứng minh:

 

$(a+1)(b+1)(c+1)\ge (ab+1)(bc+1)(ca+1)$

 

$\Leftrightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\ge a^2b^2c^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca+1$

 

$\Leftrightarrow abc(abc-1)+(a+b+c)(abc-1)\ge 0$

 

BĐT cuối đúng do $3=a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}$ nên $abc \le 1$.

Cảm ơn nhiều nhé!!

1, $\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{2}}$

2,Cho: a+b+c=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:

                            $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

$a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}.$. 

Ta có: $1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\geq 7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^{2}b^{2}}}$

C/m tương tự với 2 số còn lại, sau đó CoSi 3 số là xong.

Mấy bài này giống trong cuốn "Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học" thế nhỉ

Chủ yếu là sử dụng AM-GM dạng $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ với cauchy điểm rơi

Theo mình biết là vậy

sao toàn nói chung chung thế!!!

bởi vì phải xét điểm rơi. Dẫu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0,5.

Tìm MIN P=$\sqrt{2^2+2xy+2y^2-4y-2x+5}$

Theo mình, bạn đánh nhầm đề rồi: Tìm Min: $\sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}-4y-2x+5}$. Và lời giải là:

$\sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}-4y-2x+5}=\sqrt{(x+y)^{2}-2(x+y)+1+y^{2}-2y+1+3}=\sqrt{(x+y-1)^{2}+(y-1)^{2}+3}\geq \sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x=0, y=1. XONG

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất, n >1 để A = $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là số chính phương

Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE=2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=\widehat{N}+2\widehat{P}$, độ dài 3 cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài 3 cạnh của tam giác

Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

       A=$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

p/s: Chú ý tới dấu "=" xảy ra.

Ta có công thức tổng quát :A=$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ nên A là số chính phương khi $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ chính phương.Đến đây xét là ra

Vậy xét như thế nào anh, em vẫn chưa tìm ra đáp số

Cho 2 điểm A, B trên đường tròn tâm O sao cho $\widehat{AOB}=19^{\circ}$. Hãy dựng góc $1^{\circ}$ chỉ bằng thước và compa.

P/s: Lời giải khá bất ngờ. Mời các bạn.

Đáp án nè:

Dựng 19 góc $19^{\circ}$ nối tiếp nhau trong đường tròn. Ta có : $19.19^{\circ}=361^{\circ}$.

Vậy ta đã dựng được góc $1^{\circ}$   . Các bác thấy lời giải thế nào....

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC cắt 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi Q là điểm thuộc NP sao cho MQ vuông góc với NP.

a, Chứng minh rằng QM là phân giác góc BQC

b, Gọi độ dài 4 cạnh của tứ giác BPNC là a,b,c,d và diện tích tứ giác BPNC là S. Chứng minh: $S\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}$

2, Tổng quát với mọi a+b+c=n.

Ta có:$bc(y-z)^{2}+ac(x-z)^{2}+ab(x-y)^{2} =(abx^{2}+acx^{2})+(bcy^{2}+aby^{2})+(bcz^{2}+acz^{2})-2(ax.by+by.cz+cz.ax) =ax^{2}(b+c)+by^{2}(a+c)+cz^{2}(a+b)-2(ax.by+by.cz+cz.ax) =ax^{2}(n-a)+by^{2}(n-b)+cz^{2}(n-c)-2(ax.by+by.cz+cz.ax) =n(ax^{2}+by^{2}+cz^{2})-[(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}+2(ax.by+by.cz+cz.ax)] =n(ax^{2}+by^{2}+cz^{2})-(ax+by+cz)^{2} =n(ax^{2}+by^{2}+cz^{2}) \Rightarrow P=\frac{1}{n}$

Với mọi a,b,c dương, chứng minh rằng:$A=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$.

Đã có ở đây

http://diendantoanho...ab/#entry454945

Cách làm của bạn khá hay, phù hợp với học sinh THCS, nhưng hôm nay, tớ muốn các bạn nhớ đến BDT không quen thuộc lắm với bạn trẻ Việt Nam:Holder.

1 trong những hệ quả của nó rất hay dùng là: $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}$(*). Vận dụng hệ quả trên, ta có:

Đặt A=$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}$.

      B=$a(a^{2}+8bc)+b(b^{2}+8ac)+c(c^{2}+8ab)$=$a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$

Áp dụng (*). ta có: $A.A.B\geq (a+b+c)^{3}$.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh : $(a+b+c)^{3}\geq B=a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$

                                                     $\Leftrightarrow c(a-b)^{2}+b(c-a)^{2}+a(b-c)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

BDT được chứng minh khá đơn giản

Nhân dịp này, tớ xin post mấy bài sử dụng BDT Holder lên cho các bạn luyện tập:

1,Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c:

                         $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

2,Cho các số thực không âm a,b,c có tổng bằng 1, Chứng minh rằng:

                          $\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+2a}}\geq 1$.

Chúc các bạn thành công....    

Giải PT:  $\sqrt{2x^{2}+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3x$

Bài này còn một cách nữa là Sử dụng nguyên lý Dirichlet trong chứng minh BĐT.

Còn phần mực đỏ có vẻ ko được đúng lắm

sao thế, nói rõ xem nào, chuẩn rồi còn gì???????????        

ĐK:$x\ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+x+1}=3x-\sqrt{x^2-x+1}$

Bình phương hai vế được: $4x^2-x=3\sqrt{x^2-x+1}$

Tiếp tuc bình phương được $16x^4-8x^3-8x^2+9x-9=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(16x^3+8x^2+9)=0$

$\Leftrightarrow x=1\wedge x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{16}=0$

Với phương trình $x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{16}=0$

Đặt $x=\frac{1}{6}\left(t+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{6}$,phương trình trở thành:

$\dfrac{2t^6+247t^3+2}{432t^3}=0$

$\Rightarrow t_1=\frac{1}{t_2}=\dfrac{-\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{247+9\sqrt{753}}}<0$

$\Rightarrow x=\frac{1}{6}\left(t+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{6}<0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\boxed{x=1}$

Lời giải của bạn khá rắc rối, tớ có cách khác nè:

Ta có: $\sqrt{2x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=3x$  (1)

Sử dụng nhân liên hợp, ta có: 

         $\sqrt{2x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=3x$

         $\Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x}{\sqrt{2x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}}=3x$

         $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x+2}{3}$ vì ( x khác 0) (2)

Từ (1) và (2), (Vận dụng kiến thức lớp 4 )ta có:

        $\sqrt{2x^{2}+x+1}=\frac{\frac{x+2}{3}+3x}{2}=\frac{5x+1}{3}$

Đến đây chỉ cần bình phương 2 vế là XONG>

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\boxed{x=1}$

Xin góp thêm 1 cách nữa 

Bạn tự xét ĐKXĐ nhé

$PT\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+x+1}-2+\sqrt{x^{2}-x+1}-1=3x-3\Rightarrow \frac{2x^{2}+x+1-4}{\sqrt{2x^{2}+x+1}+2}+\frac{x^{2}-x+1-1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+1}-3(x-1)=0\Rightarrow (x-1)(\frac{2x+3}{\sqrt{2x^{2}+x+1}+2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-x+1}+1}-3)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

Tớ cũng biết hướng đi thế này rồi nhưng vế còn lại là:$\frac{2x+3}{\sqrt{2x^{2}+x+1}+2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2+1}}-3=0$

Bận định giải quyết thế nào??  

Câu a: Trục căn thức có nghiệm x=1

Câu b: ĐK:$0< x\leq 1$

Bình phương 2 vế của pt $< = > \frac{1-x}{x}=\frac{(2x+x^2)^2}{(x^2+1)^2}< = > \frac{1-x}{x}=\frac{x^4+4x^3+4x^2}{x^4+2x^2+1}< = > (1-x)(x^4+2x^2+1)=x(x^4+4x^3+4x^2)< = > x^5+4x^4+4x^3=x^4+2x^2+1-x^5-2x^3-x< = > 2x^5+3x^4+6x^3-2x^2+x-1=0< = > x^4(2x-1)+2x^3(2x-1)+4x^2(2x-1)+x(2x-1)+(2x-1)=0< = > (2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0< = > x=\frac{1}{2}$

(Do $x^4+2x^3+4x^2+x+1> 0$)

Tớ xin đóng góp thêm 1 cách(câu b):

Ta có:             $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

                       $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{x}}-1=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}-1$  

Sử dụng nhân liên hợp ta được:

                       $\Leftrightarrow \frac{\frac{1-x}{x}-1}{\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1}=\frac{2x-1}{1+x^{2}}$

                       $\Leftrightarrow \frac{1-2x}{x(\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)}=\frac{2x-1}{1+x^{2}}$

                        $\Leftrightarrow \frac{-1}{x(\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)}=\frac{1}{1+x^{2}}$  hoặc $2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

                       Xét TH còn lại, ta thấy: $VT< 0, VP> 0$  (Vô lý).

           Vậy PT có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$   

Ta có :

$PT\Rightarrow \sqrt{x^{2}+24}-(3x+2)=\sqrt{x^{2}+8}-3\Rightarrow \frac{x^{2}+24-(3x+2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+24}+3x+2}=\frac{x^{2}+8-9}{\sqrt{x^{2}+8}+3}\Rightarrow (x-1)(\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}+\frac{8x+20}{\sqrt{x^{2}+24}+3x+2})\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

Theo tớ, cậu nên đưa ra:       $\sqrt{x^{2}+24}-\sqrt{x^{2}+8}=3x-1$

                                   mà       $\sqrt{x^{2}+24}-\sqrt{x^{2}+8}> 0$

                                   nên:    $3x-1>0$$\Leftrightarrow x>\frac{1}{3}$

Vậy $\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}+3}+\frac{8x+20}{\sqrt{x^{2}+24}+3x+2}>0$  

  nên x=1.  ( Thế mới rõ ràng chứ)