Cho biết tọa độ 3 đỉnh A,B,C.   Nêu các hướng để xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. (càng nhiều hướng càng tốt)

Bài 47:

- giả sử B theo 1 ẩn, suy ra A (theo 1 ẩn dùng vecto). sau đó tìm diện tích

Bạn giải thích rõ hơn cho mình dòng này đc không? nó cho B rồi thì đâu cần tham số hóa nữa

cho P(x) thỏa mãn P(x)/(x+3) dư 1, P(x)/(x-4) dư 8, P(x)/(x+3)(x-4) được thương là 3x và còn dư, tìm P(x)

Hướng dẫn cả cách giải những dạng như thế này nha

Đặt số dư của phép chia là $ax+b$

Ta có: $P(-3)=1; P(4)=8$

Ta có: $P(x)=3x(x+3)(x-4)+ax+b$

Thay $x=-3; x=4$ vào ta có: 

$\iff \begin{cases} &  -3a+b=1 \\  &  4a+b=8 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  a=1 \\  &  b=4 \end{cases}$

Vậy $P(x)=3x(x+3)(x-4)+x+4$

Bài 2: Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn 4x+9y+16z=49. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  $\frac{1}{x}+\frac{25}{y}+\frac{64}{z}$

 

Ta có: $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z}).49=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z}).(4x+9y+16z) \geq (1.2+5.3+8.4)^2=2401$

$\rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z} \geq 49$ (bđt Bu-nhi-a)

Dấu "=" $\iff \dfrac{1}{2x}=\dfrac{5}{3y}=\dfrac{2}{z}$

giải tiếp cho mjk với bạn....

Thay xuống ta được pt:

$(x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=1-\sqrt{2x^2+5x+3}$

$\iff [(2x+3)-(x+1)](\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=(2x+3)-2(x+1)-\sqrt{(2x+3)(x+1)}$

Đặt $\sqrt{2x+3}=a; \sqrt{x+1}=b$

$\iff (a^2-b^2)(a-2b)=a^2-2b^2-ab$

$\iff (a-b)(a+b)(a-2b)=(a-2b)(a+b)$

$\iff (a+b)(a-2b)(a-b-1)=0$

Đến đây bài toán đã được giải quyết

Giải hpt

$\left\{\begin{matrix} \frac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=1+\frac{3}{2(x-y+1)} & \\ (x+2)(\sqrt{x+y+3}-2\sqrt{y+1})=1-\sqrt{x^2+y^2+5x+3}& \end{matrix}\right.$

$\iff \dfrac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=\dfrac{2(x-y+1)+3}{2(x-y+1)}$

$\iff \dfrac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=\dfrac{2(x-y+2)+1}{2(x-y+1)}$

$\iff 8(x-y+1)^3+2(x-y+1)=2(x-y+2)\sqrt{2(x-y+2)}+\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff [2(x-y+1)]^3+2(x-y+1)=(\sqrt{2(x-y+2)})^3+\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff 2(x-y+1)=\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff 2(x-y+2)-\sqrt{2(x-y+2)}-2=0$

$\iff (\sqrt{2(x-y+2)}-2)(\sqrt{2(x-y+2)}+1)=0$

$\iff \sqrt{2(x-y+2)}=2$

$\iff x=y$

Đến đây ta thay xuống pt(2)

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(4;3;4)$ và song song đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$, đồng thời tiếp xúc mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$

GS phương trình mặt phẳng là: $ax+by+cz+d=0$

(P) đi qua M nên ta có: $4a+3b+4c+d=0$ (1)

(P) có $\vec n$ là: $\vec n=(a;b;c)$ mà $(P) \\ \Delta \rightarrow \vec n.\vec u=0 \rightarrow -3a+2b+2c=0$

$\rightarrow c=\dfrac{3a-2b}{2}$

Thê $c$ vào $(1)$ ta có: $d=2b-10a$

Ta có: $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và $R=3$

Mà mp tiếp xúc mặt cầu nên: $d(I,(S))=R$

$\rightarrow 3=\dfrac{|a+2b+\dfrac{3}{2}(3a-2b)+2b-10|}{\sqrt{a^2+b^2+(\dfrac{3a-2b}{2})^2}}$

Đến đây chuyển vế bình phương, bạn sẽ đưa pt về dạng đẳng cấp đôi với $a,b$ và tìm ra quan hệ của chúng rồi chọn $a,b$ thích hợp

Bài toán: Cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{-3}$ và $(P): 7x+9y+2z-7=0$ cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ cách $d$ một khoảng $\dfrac{3}{\sqrt{42}}$

p/s: Gợi ý cho mình về dữ kiện khoảng cách

Cho tam giác ABC có tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là d:3x-4y+14=0.Đường cao của tam giác ABC kẻ từ B là 2x-y+1=0. hình.chiếu của C lên AB là C'(-12/5,-4/5). Viết phương trình đường thẳng BC.

Giả sử $Ax$ là tiếp tuyến của đường tròn

Ta sẽ cm $C'K // Ax$

Thật vậy: tứ giác $C'KBC$ là tứ giác nội tiếp $\rightarrow \widehat{AKC'}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{xAK}=\widehat{ABC}$ (t/c tiếp tuyến)

$\rightarrow \widehat{xAK}=\widehat{AKC'}$

$\rightarrow Ax // C'K$ ,do đó vt pháp tuyến $Ax$ cũng là vt pt của $C'K$

-Viết ptđt C'K $\rightarrow$ K (cho giao với $BK$)

- Viết ptđt $AC$ đi qua $K$ và đường cao $BK$ là vtpt $\rightarrow$ điểm A

-Viết ptđt $AB$ đi qua $A,C'$ $\rightarrow B$ (cho giao với $BK$)

-Viết ptđt $CC'$ đi qua C' và ptđt $AB \rightarrow C$ (cho giao với ptđt AC)

-Viết ptđt $BC$

Bài toán 1: Cho (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Viết pt mặt phẳng (P) chứa Ox và cắt $(S)$ theo một đường tròn bán kính $R=3$

Bài toán 2: Viết phương trình $(P)$ qua O, vuông góc với (Q): $x+y+z=0$ và cách điểm $M(1;2;-1)$ một khoảng bằng $\sqrt{2}$

Mk mới học dạng này nên mong mọi người nêu hướng giải, hướng tư duy để mk có thể làm các bài tương tự

Bài 15: Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=a$, $AC=BD=b$, $AB=CD=c$. Tính thể tích tứ diện theo $x,y$.

 

Đây là tứ diện gần đều, và có tổng 5 cách giải, sau đây là 1 cách giải của bài toán này:

 

 

Bài 14: Cho chóp S.ABC có $SA=x,BC=y$, các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích chóp theo $x,y$.

 

Lấy $K$ là trung điểm của $BC$ 

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $S$ xuống đáy $ABC$, Vì $SB=SC$ nên $HB=HC$ hay $H$ nằm trên đường trung trực $BC$

Dễ tính được $AK=SK=\dfrac{\sqrt{4-y^2}}{2} \rightarrow S_{ABC}=\dfrac{y\sqrt{4-y^2}}{4}$

Để tính chiều cao ta cần tính diện tích $SAK$ mà $\Delta SAK$ cân tại K và có $SK=AK=\dfrac{\sqrt{4-y^2}}{2}; SA=x$

$\rightarrow S_{SAK}=\dfrac{x\sqrt{4-y^2-x^2}}{4} \rightarrow SH=\dfrac{2S_{SAK}}{AK}=\dfrac{x\sqrt{4-y^2-x^2}}{\sqrt{4-y^2}}$

$\rightarrow V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\dfrac{xy\sqrt{4-y^2-x^2}}{12}$ 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x-2)²+ (y-2)²=4 và đường thẳng (d): 3x+y-10=0. Viết phương trình đường tròn (C') có tâm nằm trên đường thẳng x=y và tâm có hoành độ âm,(C') tiếp xúc với (d) và cắt (C) tại A,B sao cho AB= $2\sqrt{2}$

GS tâm đường tròn (C') có tọa độ $I'(i;i) \ (i<0)$

Ta có: (C) có tâm $I(2;2)$ ; $R=2 \rightarrow I'H=\sqrt{(i-2)^2+(i-2)^2}=(2-i)\sqrt{2}$

Gọi giao $AB$ và $II'$ là $H \rightarrow AH=\sqrt{2}$

$\rightarrow IH=\sqrt{2} \rightarrow I'H=(1-i)\sqrt{2} \rightarrow I'A^2=2(1-i)^2+2=2i^2-4i+4=R'^2$ (1)

Lại có: $d_{(I'/d)}=R'=\dfrac{|3i+i-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{|4i+10|}{\sqrt{10}}$ (2)

Đến đây cho $(1)=(2)^2 \rightarrow 2i^2-4i+4=(\dfrac{|4i+10|}{\sqrt{10}})^2$

Đến đây tìm đc $a \rightarrow R' \rightarrow$ pt đường tròn...

cho $ \overrightarrow{BM}$ vuông góc vs $ \overrightarrow{{U_{BM}}^{}}$(1pt)

 

Do $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$ suy ra tọa độ C theo D

Sau đó bn cho $ \overrightarrow{AM}$ cùng phương vs $ \overrightarrow{AC}$(1pt nữa)

Giải hệ trên suy ra t/độ D

Chỗ màu đỏ này bn thử xem lại xem, mk tham số hóa $M$ rồi nhân tích vô hướng ra $0=0$ (luôn đúng)

Điểm $E$ tìm ra quả là xuất sắc

Mình có cách cm khác này nhưng hơi dài không đặc sắc như của bn

Phần chứng minh: 

-$BK$ vuông góc $AC$, lấy $I$ là trung điểm $CD$ 

-Ta chứng minh được $\Delta ABK=\Delta CIM$ (cạnh huyền- góc nhọn) $\rightarrow AK=MC=MH \rightarrow AH=KM$

-Dễ cm đc $\Delta AHD \sim BKA \rightarrow \dfrac{BK}{AK}=\dfrac{AH}{HD} \rightarrow \dfrac{DH}{HM}=\dfrac{AH}{BK}$

$\rightarrow \Delta BKM \sim \Delta MHD \rightarrow$ góc BMK = góc MDH suy ra DM vuông góc BM 

... 

Bài toán: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm $H$ thuộc đường thẳng $d:3x-y-4=0; M(2;3)$ là trung điểm AB, đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ có phương trình $(S): x^2+y^2-x-5y+4=0$. Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$

Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

       (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Kéo dài AH cắt (I) tại A'.

Có: Phép đối xứng trục BC biến ABC thành A'BC nên biến (O) thành (I) do đó bán kính 2 đường tròn bằng nhau.

Ta tìm tọa độ điểm H;I

Gọi tọa độ B theo ẩn t

M là trung điểm AB nên suy ra A theo t 

Viết phương trình BC theo t; với vecto AH là pháp tuyến.

Suy ra tọa độ O theo t

Lấy OM vuông góc AB suy ra t

Sau đó tìm các điểm còn lại.

Đoạn gọi tọa độ B theo ẩn t  có phải là anh gọi theo pt đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ ?

E cũng làm hướng như thế nhưng đến đoạn tọa độ B a làm có vẻ không khả thi cho lắm vì pt đường tròn là bậc 2 mà B lại không thuộc bất cứ đường thẳng nào

5)$\left\{\begin{matrix}2x^3+y(x+1)=4x^2 &  & \\ 5x^4-4x^6=y^2 &  & \end{matrix}\right.$

 

 

(1) $\iff 2x^3+y=4x^2-xy$

$\iff 4x^6+y^2=16x^4-12x^3y+x^2y^2$

(2)$\iff 5x^4=4x^6+y^2$

$\iff 5x^4=16x^4-12x^3y+x^2y^2=0$

$\iff 11x^4-12x^3y+x^2y^2=0$

$\iff (x^2-xy)(11x^2-xy)=0$

$\iff x^2(x-y)(11x-y)=0$

$\iff x=0$  v  $x=y$  v  $11x=y$

....

B 65: $$c^3+c^3+64 \geq 3\sqrt[3]{c^6.64}=12c^2$$

$$2(b^2+16) \geq 16b$$

$$2(a^2+4) \geq 8a$$

Cộng vế với vế: $$2(a^2+b^2+c^3)+104 \geq 4(2a+4b+3c^2)=272$$

$$\rightarrow a^2+b^2+c^3 \geq 84$$

Dấu "=" $\iff (a,b,c)=(2;4;4)$

 

Trích bài đăng của bạn tanh chưa ai trả lời:

 

Bài 166: $\sqrt[3]{2x-1} = x\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2x+1}$

 

$\iff \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$

$\iff 2x-1+2x+1+3\sqrt[3]{4x^2-1}(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})=16x^3$

$\iff 4x+3\sqrt[3]{4x^2-1}.x.2\sqrt[3]{2}-16x^3=0$

$\iff 2x(2-8x^2)-6x\sqrt[3]{2-8x^2}=0$

$\iff 2x\sqrt[3]{2-8x^2}(\sqrt[3]{2-8x^2}^2-3)=0$

Đến đây ta sẽ tìm được nghiệm

74) $6\sqrt{x}-5x+32=3(4\sqrt{4x-x^2}+3\sqrt{4-x})$

Chắc đề phải sửa ở trong ngoặc là dấu $+$ rồi...

ĐK: $0 \leq x \leq 4$

Đặt $\sqrt{x}=a (a \geq 0) ; \sqrt{4-x}=b(b \geq 0) \iff a^2+b^2=4$

PT $\iff 6\sqrt{x}+3x+8(4-x)-12\sqrt{x(4-x)}-9\sqrt{4-x}=0$

$\iff 6a+3a^2+8b^2-12ab-9b=0$

$\iff (4a^2-12ab+9b^2)+3(2a-3b)-4=0$

$\iff (2a-3b)^2+3(2a-3b)-4=0$

$\iff (2a-3b+4)(2a-3b-1)=0$

Đến đây thay $a,b$ vào và bình phương sẽ tìm đc nghiệm $x$

Tiếp tục với 1 số bài tập của thầy Đặng Việt Hùng:

Bài 375: $\begin{cases} & 4x^{3}-12x^{2}+15x-7=(y+1)\sqrt{2y-1} \\ & 6(x-2)y-x+26= 6\sqrt[3]{16x+24y-28} \end{cases}$

$(1) \iff 8x^3-24x^2+30x+14=(2y+2)\sqrt{2y-1}$

$\iff (2x-2)^3+3(2x-2)=\sqrt{2y-1}^3+3\sqrt{2y-1}$

$\rightarrow 2x-2=\sqrt{2y-1}$

$\rightarrow 2y=4x^2-8x+5$

Đến đây thay xuống pt (2) được pt bậc 3 và có ý tưởng xét hàm như trên...

p/s: ai làm tiếp giúp mình với

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

Đúng là phần trong ngoặc luôn nhỏ hơn 0 nếu bấm máy tính, nhưng nhìn vào dấu trừ ngổn ngang vậy làm sao ai biết được nó nhỏ hơn 0 nhỉ? Mình nên đưa nó về một biểu thức dễ nhìn hơn  

2 bài có thể chuyển về hệ hoán vị vòng quanh tương đối hay

129.$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

 

$\begin{cases}  & \sqrt[3]{x+6}=a \\  &  \sqrt[3]{\sqrt[3]{x+6}+6}=b \\  &  x^3-b=6  \\ \end{cases}$

$\iff \begin{cases}  & a^3=x+6 \ (1) \\  &  b^3=a+6 \ (2) \\  &  x^3=b+6  \ (3) \\ \end{cases}$

Không mất tính tổng quát GS: $a \geq b$, Từ (1); (2) $\longrightarrow x \geq a$. TT từ (1) và (3) $\longrightarrow b \geq x$.

$\longrightarrow a \geq b \geq x  \geq a \iff x=a=b$

Khi đó: $x^3=x+6 \iff x=2$

Bài 200: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\ &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  2xy+2y-2y^2-4=0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2xy-2y^2-x+y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2y-1)(x-y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x-y}=a; \sqrt{2y-1}=b$, thay vào ta có hệ:

$\iff \begin{cases} &  a^2+b^2+a+b=4 \\ &  a^2b^2+a^2+b^2=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^2+(a+b)-2ab=4 \\ &  a^2b^2+(a+b)^2-2ab=3 \end{cases}$

Tới đây ta được hệ đối xứng: Đặt $a+b=S, ab=P$, thay vào ta có:

$\iff \begin{cases} &  S^2+S-2P=4  \\ &  P^2+S^2-2P=3 \ (1) \end{cases}$

$\iff S-P^2=1$

$\iff S=P^2+1$

Đến đây thế vào (1) để tìm được $P$....