Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\sum ab=abc+2$. Chứng minh rằng $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \geq 1$

Cho $a>b>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}-\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{a(a^2-1)\sqrt{a^2-1}-b(b^2-1)\sqrt{b^2-1}}{4}+\frac{a\sqrt{a^2-1}-b\sqrt{b^2-1}}{8}$

$\geq \frac{1}{8}$.In$\frac{b-\sqrt{b^2-1}}{a-\sqrt{a^2-1}}+2(a-b)$

Spoiler

Bài viết thứ 700

Cầu thang có n bậc thang được đánh số từ 1 đến n. Mỗi bước thầy Tiến có thể đi lên 1 bậc thang, 2 bậc thang hoặc 3 bậc thang, có thể đi xuống 1 bậc thang, 2 bậc thang hoặc 3 bậc thang. Hỏi nếu thầy Tiến ở chân cầu thang đi lên đỉnh cầu thang, rồi đi xuống chân cầu thang nhưng chỉ được bước vào các vị trí mà lúc dưới đi lên. Hỏi thầy Tiến có bao nhiêu cách đi với n = 18? Ví dụ n = 3 thì có 9 cách.

Các bạn chỉ dùm mình nha, nhớ nêu rõ cả cách giải nữa

Cho $x,y,z\epsilon \left [ -1,1 \right ]$ và $x+y+z=0$

Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{1+x+\frac{7}{9}y^2}\geq 3$

Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a^4+b^4+c^4+abc=2$. Tìm min,max của $ab+bc+ca-abc$

From: dangkhuong

Mọi người cho mình hỏi có thể gửi bài viết qua mail được không và nếu được thì gửi như thế nào, bố cục ra sao, mình xin cảm ơn 

Cho đường tròn (O), A cố định ở ngoài (O), vẽ AB là tiếp tuyến và cát tuyến ACD (tia Ac nằm giữa AB và AO), DE là đường kính, M là giao điểm của AO và BE. Chứng minh CM đi qua điểm cố định

Có hay không 16 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số tạo thành từ a,b,c thỏa mãn 2 số bất kì trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{4}-y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$

Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng 5x5 để cho bất kì vùng 3x3 nào đó trên bảng này cũng chứa ít nhất 4 ô đã quét sơn

Cho $100$ thằng con trai và $25$ đứa con gái, biết rằng mỗi thằng con trai thích ít nhất $10$ đứa con gái trong số đó. Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ đứa con gái sao cho mỗi thằng con trai thích ít nhất $1$ trong $7$ đứa con gái đó

Cho $a,b,c\geq 0$
Chứng minh rằng $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

Bạn vào đây xem cách sửa tiêu đề nhé:http://diendantoanho...ệc-đặt-tiêu-đề/

Lời giải: Giả sử a=max {a,b,c}

Khi đó thì: $abc\geq b^2c;a^2c\geq ac^2$

Dẫn đến: $a^2b+b^2c+c^2a\leq (a+\frac{c}{2})^2(b+\frac{c}{2})$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{a+\frac{c}{2}}{2}+\frac{a+\frac{c}{2}}{2}+(b+\frac{c}{2})\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+\frac{c}{2})^2(b+\frac{c}{2})}{4}}$

Đến đây bạn làm tiếp được rồi 

Thay $c^2=a^2+b^2$ vào cần chứng minh:

$(a^2+b^2)^n\geq a^{2n}+b^{2n}$

Dễ thấy BĐT đúng

Từ 3 nam và 3 nữ ghép thành 3 cặp nhảy thì có tổng cộng $6$ cách chọn

Ta có $C_{7}^{3}=\frac{7!}{3!.4!}=35$ cách chọn 3 nam trong số 7 nam

$C_{9}^{3}=\frac{9!}{3!.6!}=84$ cách chọn 3 nữ trong số 9 nữ

Do đó số cách chọn ra 3 nam và 3 nữ là: $35.84=2940$ cách

Và ghép thành 3 cặp nhảy thì có tổng cộng: $2940.6=17640$ cách ghép.

Spoiler

Em mới tìm hiểu về dạng này, nên làm cũng không biết đúng hay sai, nếu sai thì mong mọi người chỉ giáo giùm

$Cho \left\{\begin{matrix}a,b,c>0 \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} \end{matrix}\right. CMR: a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}$

Ta có:

$VT\geq (a+b+c)+\frac{9}{a+b+c}=(a+b+c)+\frac{9}{4(a+b+c)}+\frac{27}{4(a+b+c)}$

$\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

$a)$ Cho $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}=4$
Tìm Max $C=\frac{1}{6a+2b+c}+\frac{1}{3a+4b+c}+\frac{1}{3a+2b+2c}$
$b)$ Cho $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=\frac{1}{3}$
Tìm Max $B=\frac{xy}{4z+1}+\frac{2yz}{2x+1}+\frac{4zx}{9y+3}$
Với $a;b;c;x;y;z$ là các số thực dương tùy ý

Câu a:

Spoiler

Câu này mang tính chất lừa tình ghê nhỉ

Đặt $x=\frac{a}{2};y=\frac{b}{3};z=\frac{c}{6}$

Giả thiết trở thành: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Khi đó: $C= \frac{1}{12x+6y+6z}+\frac{1}{6x+12y+6z}+\frac{1}{6x+6y+12z}$

Đến đây có thể giải quyết dễ dàng

Lời giải ở đây nhé bạn: http://diendantoanho...16/#entry566403

Cho đường tròn $(O)$, điểm M ở ngoài đường tròn, từ M vẽ MA, MB là tiếp tuyến. Lấy 1 điểm I trên cung AB, hạ IC vuông góc với MA, ID vuông góc với MB. Tìm giá trị lớn nhất của $IC.ID$

Lời giải ở đây bạn 

http://diendantoanho...-max-pa2a1b2b1/

Cho hai số x,y thỏa mãn: $xy(2013-\frac{xy}{2})=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-2014$

Tìm GTLN và GTNN của tích xy.

Áp dụng BĐT caushy cho vế phải rồi biến đổi ta thu được $(xy+1)(2014-xy) /geq 0$

Từ đó thu được min=-1, max=2014

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ Chứng minh rằng : 

$(x^{2}+ax+b)^{2} + (x^{2}+cx+d)^{2} \leq (2x^{2}+1)^{2}  $

Ta có: $(x^2+ax+b)^2\leq (x^2+x^2+1)(x^2+a^2+b^2)$ ( BĐT C-S)

Tương tự với $(x^2+cx+d)^2$ rồi cộng lại => ĐPCM

Cho x,y dương $x+y\geq 3$

Tìm Min $P=2x^{2}+y^{2}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$

Câu này từng đăng trên diễn đàn rồi bạn:

$P=\frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7x^2}{4}+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{y^2}{2}+\frac{y^2}{2}\geq 21+\frac{3}{2}+\frac{(x+y)^2}{6}\geq 24$

Cho x, y, z, t $\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn: x+y+z+t=8 và xy+xz+xt+yz+yt+zt = 18

Tìm GTNN của t.

Ta có: $t=8-(x+y+z)$

$t(x+y+z)+(xy+xz+yz)=18$

Lại có: $xy+xz+yz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ 

Thay vào ta được: $t(8-t)+\frac{(8-t)^2}{3}\geq 18$

Từ đó tìm được min=-1 

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn  $x+y \geq 3$ . Chứng minh rằng : 

 

                 $x + y + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y} \geq \frac{9}{2}$

Ta có: $(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x})+(\frac{y}{2}+\frac{2}{y})+\frac{x+y}{2}\geq 1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ (AM-GM)

Cho $a,b,c,d \geq 0$ và $abc+bcd+cda+dab=4$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 4$