Tại sao lại đặt luôn $a=b=c=\alpha d$ như thế đc

Mình không làm sai đâu bạn à ,hoàn toàn chính xác đấy ,đó chỉ là bước tìm ra dấu bằng thôi bạn vì $a,b,c$ có vai trò như nhau mà ,đặt như vậy để có đc mối quan hệ giữa $a,b,c,d$ cho các bước dùng AM-GM tiếp theo .Nếu ko tin bạn có thể hỏi nguyenta98 cũng đc ,vì nó học thêm cùng mình mà ,vả lại thầy bọn mình cũng đã dạy rất kĩ về kĩ thuật này rồi.

Chém bài 4:

Đặt $a=b=c=\alpha d$

theo AM-GM ,ta có:$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{\alpha ^{2}}\geq \frac{3abc}{\alpha ^{2}}$

$d^{3}+\frac{a^{3}}{\alpha ^{3}}+\frac{c^{3}}{\alpha ^{3}}\geq \frac{3acd}{\alpha ^{2}}$

$d^{3}+\frac{a^{3}}{\alpha ^{3}}+\frac{b^{3}}{\alpha ^{3}}\geq \frac{3abd}{\alpha ^{2}}$

$d^{3}+\frac{c^{3}}{\alpha ^{3}}+\frac{b^{3}}{\alpha ^{3}}\geq \frac{3cbd}{\alpha ^{2}}$

Cộng 3 Bdt theo vế và nhân 3 , ta được:

$9d^{3}+(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{6}{\alpha ^{3}}+\frac{3}{\alpha ^{2}})\geq \frac{9}{\alpha ^{2}}$(1)

Từ đó suy ra;$\frac{6}{\alpha ^{3}}+\frac{3}{\alpha ^{2}}=4$ , tương đương :$4\alpha ^{3}-3\alpha -6=0$

nghiem $\alpha$ dương của PT là :$\alpha =1,360946142$

Thay vào (1) ,ta có : min P=$4,859153648$ khi và chỉ khi $a=b=c=\alpha d$

em nhận được giấy mời rồi ạ

1.Họ và tên :Nguyễn Tuấn Anh
2.Nick trên diễn đàn:reddevil1998
3.Sinh ngày :07-01-1998
4.Nghề nghiệp:Học sinh
5.Địa chỉ nhà :Số nhà 18 ,ngõ 17,phố Phùng Chí Kiên .Cầu Giấy ,Hà Nội
6.Mail/ điện thoại liên lạc:[email protected] / 0437566655
7.Địa điểm đăng kí tham gia:TP Hà Nội
8.Bạn có muốn tham gia vào ban quản trị không:Không
9.Ý kiến đóng góp :Không

cho em đăng kí với ạ.

Problem 12:Cho $1\leq b\leq 3\leq c$ ,$3ab+bc+6\geq 3b$ ,$6+bc\geq 6b$
Tìm min :$a^{4}+c^{4}-b^{4}$

Em xin gửi lời giải bài này:
Gọi $k$ là số cặp $(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$.Khi đó,
$|a_{1}-b_{1}|+|a_{2}-b_{2}|+...+|a_{1006}-b_{1006}|=6k+(1006-k)=1006-5k$
Do đó ,chỉ cần CM $k$ là một số chẵn.
Đặt $k=k_{1}+k_{2}$ ,trong đó $k_{1}$ là số các cặp $(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$ và cả $a_{i},b_{i}$ đều là các số lẻ ,$k_{2}$ là số cặp$(a_{i},b_{i})$ sao cho $|a_{i}-b_{i}|=6$ và $a_{i},b_{i}$ đều là các số chẵn .Vì các số lẻ và các số chẵn trong tập hợp $(1,2,...,2012)$ là bằng nhau và trong mỗi cặp $(a_{i},b_{i})$ với $|a_{i}-b_{i}|=1$ đều có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên$k_{1}=k_{2}$ .Từ đó suy ra $k=k_{1}+k_{2}$ là 1 số chẵn ,nên chữ số tận cùng của tổng trên là 9.
----
Trình bày và lập luận đúng nhưng bước cuối cùng lại sơ xuất dẫn đến sai kết quả và sai đáp án MR.
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 40-19 \right )+3.9+9+0=60$

Mở rộng bài toán:Chia tập $(1,2,...,n)$ ,$n$ chẵn thành 2 tập không giao nhau:$(a_{1},a_{2},...,a_{\frac{n}{2}})$ và $(b_{1},b_{2},...,b_{\frac{n}{2}})$ .Biết rằng với $i\epsilon N$ ;$1\leq i\leq \frac{n}{2}$ thì $|a_{i}-b_{i}|$ tận cùng bằng $1$ hoặc $6$ .Khi đó chữ số tận cùng của $|a_{1}-b_{i}|+|a_{2}-b_{2}|+...+|a_{\frac{n}{2}}-b_{\frac{n}{2}}|$ là $9$

bạn lên google mà tìm ,nhiều lắm

1 cách giải khác cho bài 1
Giả sử x,y là các số nguyên dương thỏa mãnPT
Xét z=0 thì x=0,y=0
Xét z>0 thì$2008^{z}\vdots 2008$ .Ta có$2008=251.2^{3}$
Giả sử x chẵn ,khi đó $x=2x_{1}$ ($x_{1}\epsilon \mathbb{N*}$)
Suy ra $(12^{x_{1}})^{2}\equiv -y^{4}(mod251)$.Theo định lí Fermat nhỏ ,suy ra:
$1\equiv (12^{x_{1}})^{250}\equiv (-y^{2})^{250}\equiv -1(mod 251)$
Đó là điều vô lí.
Giả sử x lẻ.Hiển nhiên y chẵn,lúc đó$y=2^{u}.y_{1}$($y_{1}\epsilon \mathbb{N*},y$ lẻ )
Suy ra :$2^{2x}.3^{x}+2^{4u}.y_{1}^{4}=2^{3z}.251^{z}$
Ta thấy:2x khác 4u vì x lẻ
Vậy ta xét 2 TH
TH1:$3z=2x$
TH2:$3z=4u$
Từ đó ta thấy PT vô nghiệm.

Rất khó nè:
Giải PT nghiệm nguyên dương:
$12^{x}+y^{4}=2008^{z}$
____
bài này nữa:
Giải PT nghiệm nguyên dương :
$n^{7}+7$ là 1 số CP

Mình xin phép giải bài dãy số ngày 2:
Thấy $2013=61.33$ ,mà $61$ nguyên tố suy ra ta sẽ xét dãy dư của$a_{n}$ theo modulo $61$ .
Gọi $r_{n}$ là dư của $a_{n}$ trong phép chia cho $61$
Dễ thấy $r_{n}$ tuần hoàn theo chu kì $14$ ,mà trong $14$ số hạng đầu của dãy ,ko có số nào chia hết cho $61$ ,đó là đpcm.

Mình là học sinh lớp 10 cũng được đi thi ,mình chỉ nêu binh luân những câu mình làm được thôi nhé

Câu 2 ngày 1:

xây dựng một cấu hình là đường tròn ,xếp các số $1,2,...,2k$ lên đ.tròn (thay $2014$ bởi $2k$),số sau hơn số trước 1 đơn vị,số tập con thoả đề chính là số cách chọn 1 số số từ d.tròn mà ko có 2 số nào cạnh nhau(không tính cặp $(1,2k)$)

Nhận xét :Không có cách chọn nào có số phần tử vượt quá $k$(CM nhận xét này rất dễ,các bạn tự CM nhé,chia tập được chọn ra 2 tập chẵn ,lẻ)

Rồi sau đó thiết lập 2 dãy truy hồi là $A_{n},B_{n}$

$A_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là chẵn

$B_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là lẻ.

Xét 2 số $2k,2k-1$

$2k$ được chọn ,ta loại $2k-1$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $B_{k}$

$2k-1$ được chọn ta loại $2k-2,2k$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $A_{k-1}$

Ta dc:$A_{k}=A_{k-1}+B_{k}$

Tương tự ,ta cũng có $B_{k}=A_{k-1}+B_{k-1}$

đến đây thì chắc dễ rồi

 

Bài 1 ngày 2 ,dùng SCP mod p ,suy ra mỗi ưnt của $2n^{2}+3$ chỉ có dạng $8k+1,8k+7$,từ đây dễ thấy vô lí

Bài 2 ngày 2 mình ra 3 nghiệm ,$f(x)=x^{2},f(x)=2x,f(x)=-x$

Đầu tiên mình tính $f(0),f(1),f(2)$,rồi quy nạp trên Z,trên Q,rồi cm f đồng biến,chọn 2 dãy số hữu tỉ tiến về x để chuyển về trên R

Bài 4 ngày 2 đúng như anh White Shadow làm.

 

P/s: Chắc là bị loại rồi.....

Em xin post 1 bài : cho đa giác đều (H) 14 đỉnh .CMR:từ 6 đỉnh bất kì của đa giác luôn chọn được 4 đỉnh là đỉnh của 1 hình thang cân

Anh Thắng làm bài tốt chứ

cho mình hỏi là đề ngày 1 câu 2 có điều kiện $m,n >0$ hay không. Nếu $m,n$ chỉ là các số không âm thì nó chả khác gì bài toán tìm số tập con (kể cả rỗng) mà không chứ 2 số nguyên liên tiếp vậy.

Đương nhiên là m,m>0 rồi

Cho đến lúc này các trường đã gần như đã thành lập đội tuyển chính thức ,nên mình mở topic này để thảo luận và để cho mọi người nắm rõ tình hình về các đội tuyển năm nay

Đầu tiên mình xin mở đầu với đội tuyển của KHTN trường mình

1.Nguyễn Thế Hoàn ( nguyenthehoan)

2.Đỗ Tuấn Mạnh

3.Đào Quang Đức

4.Vũ Ngọc Hùng

5.Phạm Công Sơn

6.Nguyễn Tuấn Hải Đăng

7.Đỗ Quang Long

8.Nguyễn Đăng Quả ( anhqua)

9.Phạm Quang Huy

10.Nguyễn Đức Minh ( whatever2507)

Gửi các bạn bài này , chắc dễ thôi ,đây là bài thầy Đặng Hùng Thắng ra cho đội tuyển KHTN

Bài toán:

Tìm $f:N\rightarrow N$ thỏa mãn

1) $f$ là toàn ánh

2)$f(n)\geq n+(-1)^{n}$

cám ơn anh Long nhé ,tài liệu này hay thiệt đó

Bài này giải bằng cát tuyến cũng hay.
Chia $2$ vế PT cho $z^{4}$,rồi tìm tất cả các điểm hữu tỷ trên đường cong $x^{2}+2y^{2}=1$,tọa độ tất cả các điểm đó cũng chính là nghiệm nguyên của PT.

Lâu rồi mới lên lại VMF thì thôi tặng mn lời giải bài tổ vậy

Hoặc có thê dùng bổ đề : Mọi graph có deg >=3 thì luôn có chu trình độ dài chẵn:)))

Secbia MO 2007,bài này có thể giải được bằng kí hiệu Legendre

Đây chính là VN TST 2006.

Cách khác :PT tương đương:$(x+2)(x^{2}-x+3)=2^{n}+8$
CM tương tự nguyenta98 ở trên ,suy ra$n\geq 3;x\equiv 5(mod8)$
Gọi $p$ là 1 ước nguyên tố của $x^{2}-x+3$,suy ra $-2$ là 1 SCP $mod p$
Theo kí hiệu Legendre ,ta có $1=(\frac{-2}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{\frac{p^{2}-1}{2}}$
Suy ra ,p có dạng $8m+1;8m+3$,rồi tiếp tục giải tiếp như lời giải trên thôi

Lời giải của mình:
Gọi $P$ là tập các ước của $b$ .Với $p$ thuộc $P$.Gọi $d$ là số nguyên nhỏ nhất thoả mãn $a^{d}-1\vdots p$.Ta có :$n\vdots d , p-1\vdots d$ và $n\leq v_{p}(a^{d}-1)+v_{p}(\frac{n}{d})$ .Giờ ta lại có :$b\geq \prod p>\prod d=S$ và $a^{S}-1\vdots a^{d}-1$ ,suy ra :$a^{b}>a^{S}-1\geq \prod p^{n}\prod p^{-v_{p}(n)}\geq \frac{3^{n}}{n}$ ,suy ra đpcm.