Cho $\Delta ABC(AB>BC)$ từ M trên AB kẻ Mx//BC cắt AB tại N, từ C kẻ Cy//AB cắt Mx tại P. AC cắt BP tại O.

a,XĐ M để BP là tia phân giác của $\widehat {B}$

b,CMR nếu M là trung điểm của AB thì CO=2ON

c,Với M bất kì trên AB. CMR $OC^2=ON.OA$

a)- Chứng minh được MBCP là hình bình hành.

-Để BP là phân giác của góc B thì BCPM là hình thoi  => BM=BC.

b)- Vì MPCB là hình bình hành => MP= BC.

-Vì MN là đường trung bình của tam giác BAC => MN= BC/2.

-Từ 2 điều trên => NP= BC/2.

-Vì NP//BC => NP/BC =ON/OC= 1/2    => 2ON=OC.

c) -Vì BC//NP => OC/ON= BO/OP (1).

-Vì CP//BA => BO/OP= OA/OC (2).

-Từ (1);(2) => OC/ON=  OA/OC  => OA.ON= OC^2 (đpcm).

-Lấy K là trung điểm của AH.
-Do H là trực tam của tam giác đều ABC; K là trung điểm của AH nên AK=KH=HD.
-Dựa vào phần a), ta có IEDF là hình thoi nên ID cắt FE tại trung điểm của FE và ID. Gọi EF cắt ID tại O.
-Ta có: OH là đường trung bình của tam giác IKD=> IK// OH (1).
IK là đường trung bình của tam giác AMH
=> IK//MH (2).
-Từ (1);(2)=> M;O;H thẳng hàng.
=> EF; ID;MH đồng quy (đpcm).

-Do Tan giác BAC vuông tại A; M là trung điểm của BC nên AM=BM=MC.
-Kẻ MH vuông góc AC(H thuộc AC); MK vuông góc với AB(K thuộc AB). => H là trung điểm của AC; K là trung điểm của AB.
-Ta có: MD>=MK;ME>=MH.
-Và có: S(MDE) min <=> MD.ME min <=> ME=MH; MD=MK<=> AE=EC; AD=DB.
=> để S(MDE) min thì E là trung điểm của AC;D là trung điểm của AB.

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O), đường tròn ngoại tiếp (I). Gọi (K), (L), (N) lần lượt là đối xứng của (I) qua BC, CA, AB. Gọi (K) cắt (O) tại $A_{1}A_{2}.A_{1}A_{2}$ cắt BC tại $A_{3}$. Tương tự ta có $B_{3}, C_{3}$. Chứng minh rằng $A_{3}, B_{3}, C_{3}$ thẳng hàng.

tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) =>(O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC=>(O) trùng (I) ??

Kẻ EH vuông góc với AD, H trên AD
AHEB là hình chữ nhât => AH=BE=1; EH=AB=5
=> DH=4=> $DE^{2}={5^{2}+4^{2}}=41$
Sử dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác DAC và BEC tính được $DC^{2}=29;EC^{2}=10$
Ta thấy $DE^{2}+CE^{2}=29+10=39\neq 41=DE^{2}$
=> Góc DCE không hải góc vuông

Câu kết luận của bạn:chữ "hải" thay bằng chữ "phải" nhé!

-Dễ dàng chứng minh được: AM=CN=BP; AN=CP=BM.

=> tam giác MAN=tam giác PBM(c.g.c) => MN=MP.

-Chứng minh tương tự, ta có: MN=PN. Suy ra tam giác MNP đều.

-Ta có: S(MNP) min <=> MN min (Do tam giác MNP đều).

-Lấy M';N' lầm lượt là trung điểm của AB;AC.

-Ta lại có: AM+AN=AM'+AN'. => MM'=NN'. 

-Kẻ MQ//NN' (Q thuộc M'N').MN cắt M'N' tại F.

-Dễ dàng chứng minh được tam giác QMF=tam giác N'NF(g.c.g). => MF=NF.

-Kẻ MH vuông góc với M'N"; NK vuông góc với M'N' (H;K thuộc M'N').

-Ta chứng minh được tam giác MM'H= tam giác NN'K(cạnh huyền-góc nhọn). => M'H=N'K => M'N'=HK.

-Mà MN>=HK. Suy ra MN>= M'N'.

-Suy ra min MN= M'N' (Dấu "=" xảy ra khi M là trung điểm của AB còn N là trung điểm của AC).

-Vậy S(MNP) nhỏ nhất khi M;N;P lần lượt là trung điểm của AB;AC;BC.

Sửa lại cho chuẩn này

Kẻ$EP$ vuông góc với $AM(P\epsilon AM)$

$DQ$ vuông góc với $BM(Q\epsilon BM)$

$EH$ vuông góc với $DQ(H\epsilon DQ)$

Rõ ràng $EH=PQ$(vì tứ giác $EPQH$ là hình chữ nhật)

Ta có $ED\geq EH$(quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

mà $EH=PQ=PM+MQ=\frac{1}{2}AB$$\Rightarrow ED\geq \frac{1}{2}BA$.

Dấu''='' xảy ra khi $D$ là trung điểm của $BC$ hay $M$ là trung điểm của $AB$

-Bạn ơi phải là ED>= 1/2.BC chứ!

Số có 3 chữ số cần tìm là 675.

$A=x(x^2-48)\geq -7.(7^2-48)=-7$

-Bài của bạn sai rồi. Bạn thử x=4 vào A thì A=-128 <-7 mà. 

Tìm GTNN của $x^{2}+2015+\frac{1}{x^{2}+2015}$

-Ta có: \[\begin{array}{l}

\end{array}\]  (Do \[{x^2} + 2015 \ge 2015\forall x \in R\]).

ta có a²b²+b²c²+c²a²$\geq$$a^2b^2c^2$ do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$

đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ do đó$x^2+y^2+z^2=1$

và P=$\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{y^2+x^2}$=$\frac{x^4}{x(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{y(z^2+x^2)}+\frac{z^4}{z(x^4+y^4)}$

ta có $x(y^2+z^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x^2}.\sqrt{y^2+z^2}.\sqrt{y^2+z^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2y^2+2z^2)^3}{27}}\geq \frac{2}{\sqrt{27}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$

chứng minh tương tự suy ra $x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)\leq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$ nên P$\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

-Dòng thứ 4 của bạn viết ngược dấu rồi kìa, bạn sửa lại đi.

Bài 1:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên $A=\frac{x^3-2x^2+7x-7}{x^2+3}$


Bài 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9a}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

Bài 1: -Ta có: A=(x^3-2.x^2+7x-7)/(x^2+3)
=(x^3+ 3x)/(x^2+3) -(2x^2+6)/(x^2+3) +(4x-1)/(x^2+3).
=x-2 +(4x-1)/(x^2+3) thuộc Z.
-Mà x thuộc Z=> để A thuộc Z thì (4x-1)/(x^2+3) thuộc Z.
=> 4x-1 chia hết cho( x^2+3). (1)
=> 4x^2-x chia hết cho (x^2+3). Và có 4x^2+12 chia hết cho (x^2+3).
=> 4x^2- x-(4x^2 +12) chia hết cho (x^2+3).
=> x+12 chia hết cho (x^2+3).
=> 4x+48 chia hết cho (x^2+3).
-Từ (1);(2)=> 49 chia hết cho (x^2+3).
=> x^2+3=49 hoặc x^2+3= 4 hoặc x^2+3 =1.
+Nếu x^2+3 =49=> x^2=46.(Loại do x thuộc Z).
+Nếu x^2+3=7=> x^2=4 => x=2 hoặc x=-2.
(Loại x=-2 do thử lại thấy A không thuộc Z).
+Nếu x^2+3=1 => x^2=-2 (Loại do x thuộc Z).
Vậy x=2 thỏa mãn đề bài.

 

Trong tam giác ABC lấy các điểm A; E; F thuộc BC; CA; AB sao cho $\widehat{{\rm{AF}}E} = \widehat{BFD}$, $\widehat{BDF} = \widehat{CDE}$, $\widehat{CED} = \widehat{AEF}$

a) Chứng minh: $\widehat{BDF} = \widehat{BAC}$

b) Cho AB = 5cm; BC = 8cm; CA = 7cm. Tính BD

 

-Bạn ơi, sao tam giác ABC lại có A thuộc BC vậy?

M.n giúp m bài này:
Cho số tự nhiên a thoả mãn:
a chia 3 dư 6,chia 12 dư 10,chia 15 dư 13 và a chia hết cho 23
a.Tìm số nhỏ nhất a
b. Tìm dạng chung của n
Chi tiết 1 chút nhé ! Thanks

-Giả sử đề bài của bạn đúng khi đó a chia 3 dư 6 nghĩa là a chia hết cho 3 (1).
-Mà a chia cho 12 dư 10 => a không chia hết cho 3 (2).
-Từ (1);(2)=> không tồn tại số a thỏa mãn đề bài phần a) với a là số tự nhiên.

-Trả lời bài 2 của bạn motkhoc:
Đề bài: Tìm n thuộc N để (3n+1, 5n+2)=1.
-Đặt (3n+1, 5n+2)=d ( n là số tự nhiên và d là số tự nhiên khác 0).
=> 3n+1 và 5n+2 chia hết cho d.
=> 5.(3n+1) chia hết cho d
và 3.(5n+2) chia hết cho d.
=> 5.(3n+1)- 3.(5n+2) chia hết cho d.
=> -1 chia hết cho d và d là số nguyên dương nên d=1.
=> Với mọi n là số tự nhiên thì (3n+1,5n+2)=1.
Vậy với mọi n là số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Bài 10: Tìm số $n\epsilon N^{*}$, sao cho: $n^{3}-n^{2}+n-1$ là số nguyên tố
Bài 11: Chứng minh rằng bình phương của số nguyên tố khác 2 và 3, khi chia cho 12 đều dư 1
Bài 12: Tìm một số p, để 3 số p, p+2 và p+4 đều là số nguyên tố
Bài 13:Chứng minh rằng nếu $2^{n}-1$ là số nguyên tố $(n>2)$ thì $2^{n}+1$ là hợp số
Bài 14: Trong một buổi sinh hoạt ngoại khóa có 252 em học sinh khối lớp 6; 210 em học sinh khối lớp 7 và 126 học sinh khối lớp 8 tham dự. Để tiện sinh hoạt, người ta muốn chia đều số học sinh mỗi khối lớp vào từng nhóm, mỗi nhóm đều có đủ học sinh 3 khối lớp.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho ta bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm có bao nhiêu người và số học sinh mỗi khối lớp trong một nhóm là bao nhiêu người?

Bài 10: -Ta có: n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố (n là số tự nhiên).
-Mà n^3-n^2+n-1= (n-1).(n^2+1).
=> để n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố thì n-1=1 hoặc n^2+1=1 (Vì nếu n-1 khác 1 và n^2+1 khác 1 thì n^3-n^2+n-1 sẽ chia hết cho 1 số nguyên >1).
=> n=2 hoặc n=0 (Loại TH n=0 vì khi đó n^3-n^2+n-1 =-1 không phải là số nguyên tố).
Vậy n=2 thỏa mãn đề bài.

Lời giải cho bài của bạn vanduc0409:
- Lấy I là giao của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
-Ta thấy tam giác ABC cân tại A có góc BAC=30 độ=> góc ABC=75 độ.
-Ta có: IA=IB=IC; Góc BIC= 2. góc BAC= 60 độ(do IA=IB=IC) => tam giác IBC đều.
=> I thuộc đường phân giác góc BAC và AI=BI=CI=BC. Mà M cũng thuộc tia phân giác góc BAC và AM=BC.
=> điểm I trùng với M. => tam giác BMC đều
=> góc MBC=60 độ. Mà góc ABC=75 độ.
=> góc ABM=15 độ.
Vậy góc ABM=15 độ.

Kẻ AA' vuông góc với BC; DD' vuông góc với BC; EE' vuông góc với BC; NN' vuông góc với BC( A'; D'; E'; N' cùng thuộc BC). Gọi NM cắt DE tại I.Kẻ II' vuông góc với BC(I' thuộc BC).
- Ta có: I là trung điểm của DE; I là trung điểm của NM.
-Hình thang DD'E'E có II' PDF đường trung bình => DD'+EE'=2.II'(1).
-Mà II' là đường trung bình của tam giác MNN'=> 2.II'= NN'(2).
-Từ (1);(2)=> DD'+EE'=NN'(3).
-Ta lại có: DD'+ EE'= AA'( bạn tự chứng minh dựa vào mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông có một góc= 60 độ nhé!)
Suy ra AA'= NN'. Mà AA' //NN' => ANN'A' là hình chữ nhật.
=> AN //BC(đpcm).

Cho e hỏi bài này với ạh:
Cho tam giác ABC có góc B bằng 60 độ, vẽ phân giác góc A và phân giác góc C cắt nhau tại I và phân giác góc A cắt BC tại E, phân giác góc C cắt AB tại D, tính góc IDE?
Giúp em bài này với ạh. Cám ơn các anh các chị trước ạh.

-Ta có: Góc ABC=60 độ=> 1/2(góc BAC+góc ACB)=60 độ= góc IAC+góc ICA.
=> góc CIA=120 độ; góc EIA=góc CID=60 độ.
-Kẻ phân giác góc AIC cắt AC tại H.
-Ta có: góc EIA=góc AIH(=60 độ).
=> tam giác EIA=tam giác HIA(g.c.g).
=> EI=IH.
Chứng minh tương tự, ta có: DI=IH.
=> EI=ID(=IH). Và có góc EID=120 độ.
=> tam giác EID cân tại I có góc EID=120 độ.
=> góc IDE=30 độ.
Vậy góc IDE=30 độ.

Cho $\Delta ABC$ vuông cân, trung tuyến $AE$. Trên cạnh $AB$ lấy $F$ sao cho $AF=\frac{1}{2}FC$. Trên $FC$ lấy $I$ sao cho $EI \bot FC$. Tính $\widehat{BIC}$.

tam giác ABC cân tại đâu vậy bạn?

Cám ơn bạn nhìu nhìu

Không có gì bạn à!

-Bài 1:
- Ta có: tam giác ONC=tam giác OMA(g.c.g).
=> ON=OM. Và có: ON vuông góc với OM.
=> tam giác OMN vuông cân tại O có I là trung điểm của MN.
=> OI=NI=MI.(1)
-Tam giác NMB vuông tại B có I là trung điểm MN=> BI=IN=IM.(2)
-Từ (1);(2)=> OI=IB(=1/2.MN). => I đi chuyển trên đường trung trực của OB. => I di chuyển trên AC (do AC là đường trung trực của OB) sao cho IC<IA( do M chuyển động trên AB).
-Ta có: OMPN là hình chữ nhật có OM=ON.
=> OMPN là hình vuông. => I là trung điểm của OP( do I là trung điểm của MN).
=> P di chuyển sao cho I là trung điểm của OP( I di chuyển trên AC sao cho IC<IA).

1) Cho tam giác ABC cân tại A; góc A =$80^o$. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho $\widehat{BAI}=50^o$ ; trên cạnh AC lấy K sao cho $\widehat{ABK}=30^o$ . AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh tam giác HIK cân.

2) Cho tam giác ABC có là góc tù. Trên BC lấy DE sao cho BD=BA; CE=CA. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của $\widehat{ABC}; \widehat{ACB}$

3) Tam giác ABC vuông ở A có góc $B = 60^o$ ; AB = 4,5cm. Tính BC . 

2) Đề bài bị thiếu bạn ơi.

1) -Kẻ tam giác ABP đều (P thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C).

-Ta có: tam giác AIB có góc BAI= góc IBA (=50 độ) => tam giác ABI cân tại I.

=> tam giác BPI= tam giác API (c.c.c) => góc IPA=30 độ và góc IAP= 10 độ.

-Lấy trên cạnh BK điểm M sao cho góc BAM=10 độ. Mà ta có góc ABM= 30 độ.

=> tam giác BAM= tam giác PAI (g.c.g) => AM=AI (1).

-Vì góc BAM=10 độ; góc BAC= 80 độ nên góc MAK= 70 độ= góc AKM.

=> tam giác AMK cân tại M. => AM=MK (2).

-Từ (1);(2) => AI=MK (3).

-Ta lại có: góc MAH= 40 độ= góc AMH nên tam giác AMH cân tại H. => AH=HM (4).

-Từ (3);(4) => AI-AH =MK-HM.  => HI=HK.

 Vậy đpcm.

Cho tam giác ABC có góc B>góc C.Trên cạnh AB và AC lấy các điểm m,n sao cho BM=Cn.Gọi E,F,P,Q lần lượt là trung diểm của BC,MN,MC,BN;đường thẳng È cắt AC và AB theo thứ tự ở I và K.

Tam giác ABC có thêm điều kiên gì nữa thì EF=PQ

Điều kiện của tam giác ABC để EF=PQ là góc BAC= 90 độ.

-Ta có: AB^2+AC^2=(BH+CH)^2.
=> 2.AH^2+BH^2+CH^2= BH^2+CH^2+2.BH.CH.
=>AH^2=BH.CH.
-Ta thấy: CI^2=(CH+HI)^2=CH^2+HI^2+2.CH.HI = CH^2+AS^2+BH.CH= CH^2+AH^2+AS^2= AC^2+AS^2=CS^2( do IH=IB=AS=1/2.BH và AH^2=BH.CH).
=> CI=CS( do CI và CS>0).
Vậy đpcm.