Ta lại tiếp tục áp dụng pp "Cần cù bù thông minh" vào bài này

\[7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} \]
\[ \Leftrightarrow 28\left( {49{x^4} + 98{x^3} + 49{x^2}} \right) = 4x + 9\]
\[ \Leftrightarrow \left( {14{x^2} + 12x - 1} \right)\left( {98{x^2} + 112x + 9} \right) = 0\]

Giải 2 pt trên ta được 4 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn đk là: $x = \frac{{5\sqrt 2 - 6}}{{14}}$

cho em hỏi sao a phân tích nhân tử hay z chỉ e ik

Bài toán 75 (sưu tầm)

cho x,y,z>0 và x+y+z=3 CMR

$\frac{1}{xyz}\geq \sqrt[4]{\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}}$

Bài toán 84 (sưu tầm)

cho a,b,c dương CMR

$\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{a+c+2b}+\frac{a+c}{a+b}.\frac{c}{a+b+2c}\geq \frac{3}{4}$

3.b) Ta có $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=4-2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+xz=1$

Thay $1=xy+yz+zx$ vào biểu thức $P$ ta có

$P=\sum y\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+y^{2})(xy+yz+zx+z^{2})}{xy+yz+zx+x^{2}}}=\sum y\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sum y(x+z)=xy+yz+xz+xy+zx+yz=2(xy+yz+zx)=2$

Do đó biểu thức $P$ không phụ thuộc vào $x;y;z$

bn ko dùng kí hiệu xich ma cho mik hỉu đc ko ?

Bài toán 6 :

giải phương trình $4\sqrt{3x+4}+4\sqrt{2x+1}=x^{2}+12$

Mong các bạn tham gia đọc kĩ nội quy topic ,tránh để việc còn nhiều bài chưa có giải trong khi một số bạn vẫn tiếp tục đăng đề như trong topic của bạn Tăng ^-^

 Bài toán 1 , ĐKXĐ : $\frac{-9}{4}\leq x\leq -1$ hoặc $x\geq 0$

Phương trình đã cho tương đương với $(14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)= 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{-8\pm \sqrt{46}}{14},\frac{-6\pm 5\sqrt{2}}{14})$

Vậy ta có thể kết luận nghiệm theo điều kiện bài toán

 

Ngoài ra các bạn có thể dùng cách nhân liên hợp ,khá hữu dụng !

cho em hỏi cách a tư duy để có thể đưa ra pt tích như z ạ tks a =)

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

bn chứng minh giúp mik phần bổ đề lun nha tks nhìu =)

1.PNG

cụ thể được hk bn ??

1) cho x,y,z là 3 số thay đổi thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . tìm GTLN của 

$P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}]$

2)cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi

tìm GTNN của $S=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}$

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

cho mik hỏi tip đoạn cuối câu 2 bạn biến đổi ntn z?? 

$E \geq \frac{(a+b+c)^2)}{2(a+b+c)} \geq \frac{\sum \sqrt{ab}}{2}= \frac{1}{2}$
p/s: Câu này quen thuộc quá !

thật ra Thừa Thiên Huế vẫn chưa học đến bđt cauchy-schwarz đâu nên bài này có thể c/m = AM-GM =)

cho a,b,c thuộc [0;2] và a+b+c=3

C/M : $3\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)\leq 9$

Đặt $2^a,2^b,2^c$ lần lượt là $a,b,c$
Ta có $Q.E.D\iff ab + ac + bc < 2abc +1$ ( với $a,b,c > 1$)

Đặt $a = x+1; b = y +1; c = z +1$ thì $x,y,z > 0$

BĐT $\iff 2xyz + (xy+yz+zx) > 0$ ( luôn đúng )

Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$

hình như đề sai ở ĐK vì ta thấy điều vô lý khi a=1,1;b=1,2;c=1,3 (nói chung là a,b,c lui dần về 1) 

hình như đề sai ở ĐK bởi vì ta thấy ngay điều vô lý khi a=b=c=1,1

Gõ dùm Latex cái đi.

Ta có $P=x^4+x^2-6x+9=(x^4+x^2-6x+4)+5=(x-1)^2(x^2+2x+4)+5\geq 5$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Vậy $P_{min}=5$ khi $x=1$

heh đang gấp ko bém latex đc thông cẻm 

Gtnn: x^4+x^2-6x+9

cho tam giác ABC có AB=AC= $\frac{2}{3}$a , BC=a .đường cao AE , tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (o),đường tròn (o)  tiếp xúc cạnh AC tại F .

a) tính BF

b)CMR BF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFC

cho a,b,c dương CMR

 $\sum \frac{a^{2}}{(2a+b)(2a+c)}\leq \frac{1}{3}$

tìm MIN A =$x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1$

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với AB<AC và AA',BB',CC' là 3 đường cao . vẽ đường tròn (O) đường kính BC .từ A kẻ các tiếp tuyến AM,AN đến đường tròn (O) ( M,N là tiếp điểm ) .gọi H là trực tâm của tam giác ABC,M' là giao điểm thứ 2 của A'N với đường tròn (O) ,K là giao điểm của OH và B'C'.CMR

a) BC là đường trung trực của MM'

b) 3 đỉm M,N,H thẳng hàng 

c) KB'/KC' =(HB'/HC')^2

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với AB<AC và AA',BB',CC' là các đường cao .vẽ đường tròn (O) đường kính BC .từ A kẻ các tiếp tuyến AM,AN đến đường tròn (O) ( M,N là tiếp điểm ) .gọi H là trực tâm của tam giác ABC , M' là giao điểm thứ 2 của A'N và đường tròn (O) ,K là giao điểm của OH và B'C'.CMR:

a) BC là đường trung trực của đoạn MM'

b) 3 điểm M,N,H thẳng hàng 

c) KB'/KC'=(HB'/HC')^2

cho a,b dương .CMR

$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$

P/S:giải chi tiết giúp mik nha (bao gồm cách biến đổi v.v)

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với AB<AC và AA',BB',CC' là các đường cao .vẽ đường tròn (O) đường kính BC .từ A kẻ các tiếp tuyến AM,AN đến đường tròn (O) ( M,N là tiếp điểm ) .gọi H là trực tâm của tam giác ABC , M' là giao điểm thứ 2 của A'N và đường tròn (O) ,K là giao điểm của OH và B'C'.CMR:

a) BC là đường trung trực của đoạn MM'

b) 3 điểm M,N,H thẳng hàng 

c) KB'/KC'=(HB'/HC')^2

Giải phương trình nghiệm dương 

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với AB<AC và AA',BB',CC' là các đường cao .vẽ đường tròn (O) đường kính BC .từ A kẻ các tiếp tuyến AM,AN đến đường tròn (O) ( M,N là tiếp điểm ) .gọi H là trực tâm của tam giác ABC , M' là giao điểm thứ 2 của A'N và đường tròn (O) ,K là giao điểm của OH và B'C'.CMR:

a) BC là đường trung trực của đoạn MM'

b) 3 điểm M,N,H thẳng hàng 

c) KB'/KC'=(HB'/HC')^2