Cho x,y,z dương thỏa $x+y+z =a$,
C/m:$$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq (1+\frac{1}{a})^{3}$$


Ta có $$A=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=\frac{xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1}{xyz}=\frac{xyz+xy+xz+yz+a+1}{xyz}=\frac{a+1}{xyz}+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

Có $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{a} (do x,y,z> 0)$$

có $$27xyz\leq (x+y+z)^{3}=a^{3}$$
$$\Rightarrow \frac{a+1}{xyz}\geq \frac{27a+27}{a^{3}}$$
Do đó $$A\geq 1+\frac{9}{a}+\frac{27a}{a^{3}} =\frac{(a+3)^{3}}{a^{3}}> \frac{(a+1)^{3}}{a^{3}}=\left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{3}$$
-----------------------------------------
Chú ý: gõ $\LaTeX$ cẩn thận hơn!

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=1& \\ y^2+yz+z^2=4& \\ z^2+xz+x^2=7& \end{matrix}\right.$

Mình có một cách như thế này, mong mọi người cho ý kiến ...
Biến đổi hệ đã cho, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - y^3 = x - y\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
y^3 - z^3 = 4\left( {y - z} \right)\,\,(2) \\
z^3 - x^3 = 7\left( {z - x} \right)\,\,(3) \\
\end{array} \right.$
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế, ta được:

$\begin{array}{l}
x - y + 4\left( {y - z} \right) + 7\left( {z - x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \, - 6x + 3y + 3z = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{y + z}}{2} \\
\end{array}$
Thế giá trị x vừa tìm được vào phương trình $x^2 + xy + y^2 = 1\,$ , và sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được:

$7y^2 + 4yz + z^2 = 4$
và kết hợp với phương trình đã cho: $y^2 + yz + z^2 = 4$
ta tiến hành trừ 2 phương trình trên vế theo vế, ta lại được: $\begin{array}{l}
6y^2 + 3yz = 0 \Leftrightarrow y(2y + z) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0 \\
y = \frac{{ - z}}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Với y=0, dễ dàng tìm được các nghiệm (x;y;z) thỏa là (1;0;2);(-1;0;-2).
Với $y=\frac{-z}{2}$, ta thế vào phương trình $y^2 + yz + z^2 = 4$
và tìm được giá trị của z, từ đó suy ra nghiệm (x;y;z) thỏa là $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$
Vậy pt có 4 nghiệm : (x;y;z)= (1;0;2);(-1;0;-2); $\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right);\left( {\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - \sqrt 3 }}{3}} \right)$

Mong các bạn cho ý kiến về lời giải này ....

Cảm ơn bạn lời giải rất hay.Không biết có cách giải tổng quát cho hệ đẳng cấp bậc 2 ba ẩn số không nhỉ?

Cho (O,R) dây BC cố định.Trên cung lớn BC lấy A .Hạ AD vuông góc với BC.Hạ CE vuông góc với AO.Chứng minh đường trung trực của DE luôn đi qua 1 điểm cố định.(Mình đoán là trung điểm của BC nhưng chưa biết cm)

By hola0905 at 2012-03-02

$\sqrt{x^4+x^2+1}+\sqrt{x(x^2-x+1)} \leq \sqrt{\frac{(x^2 +1)^3}{x}}$

Cho (O) , A nằm ngoài đường tròn.Từ A kẻ 2 cát tuyến ABC và ADE .Đường thẳng qua D song song với BC cắt (O) tại điểm thứ 2 là F .AF cắt (O) tại G.EG cắt BC tại M
CMR $\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Cho a,b,c >0 thoả abc=1 .Chứng minh
$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ac+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Tìm số nguyên tố $p$ có dạng $p=n^n+1$ trong đó n nguyên dương và p không có quá 19 chữ số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TS VÀO LỚP 10 THPT
ĐĂK LẮK NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi :TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150p,không kể thời gian giao đề

Bài 1.(3 điểm)
1)Giải phương trình$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-1}=3$
2)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$
Bài 2.(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị của m dương để phương trình $x^{3}-(m+1)x^2+(m+2)x-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ sao cho$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$
2) cho x,y là số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$x^4+y^4+4x^2y^2\geq 3(x^3y+xy^3)$
Bài 3.(2,0 điểm)
1) Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ước số chung lớn nhất của a và b không lớn hơn$\sqrt{a+b}$
2) Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $4^x +17=y^2$
Bài 4.(2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O.Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO.Trên (O') lấy điểm M ( khác A và O),tia OM cắt (O) tại N,gọi P là giao điểm thứ hai của AN với (O').
1) Chứng minh tam giác APM câm.
2) Đường thẳng AM cắt OP tại H.Đường tròn ngoại tiếp tam giác NOH căt (O) tại điểm thứ hai là Q.Chứng minh A,M,Q thẳng hàng.
3) Cho $\widehat{QAB}=60^0$. Chứng minh AQ=6HM
Bài 5.(1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{A}=36^0$. Chứng minh$\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Tìm số $\overline{abc}$ thỏa $\overline{abc}=4c(a+b)^2$

MOD: đề nghị bạn chú ý lần sau viết tiêu đề như nội quy diendantoanhoc.net

Làm thử bài hình câu a chắc dễ
câu b )Dễ dàng chứng minh HD=DM,NE=HE,PF=FH bằng cách xét tính đối xứng
Do đó $\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{HD}{AD}=1+\frac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}$
Tương tự $\frac{BN}{BE}=1+\frac{S_{\Delta AHC}}{S_{\Delta ABC}}$ và $\frac{CP}{CF}=1+\frac{S_{\Delta AHB}}{S_{\Delta ABC}}$
Cộng vế lại ta có $\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=4$


Uploaded with ImageShack.us

GIải hệ $\left\{\begin{matrix}4x^3+3xy^2=7y & \\y^3 +6x^2y=7 & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c dương thỏa abc<1.
CMR$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}> 1$

Tìm số dư của $(2+\sqrt{3})^{2012}$ khi chia cho 3

Giải phương trình $20(\frac{x+3}{x-2})^2-5(\frac{x+2}{x-1})^2+48(\frac{x^2-4}{x^2-1})=0$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x^3-8x=y^3+2y & \\ x^2-2=3(y^2+1) \end{matrix}\right.$

Cho phương trình $(x+1)^4 -(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0$
a)Cm phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt (câu này dễ)
b)Gọi $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của pt
Định m để $\left |x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |=2$

Cho 3 phương trình $x^2+ax+1=0(1)$;$x^2+bx+1=0(2)$ và $x^2+cx+1=0(3)$.Biết rằng tích 1 nghiệm của phương trình (1) với nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3).
CMR $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Cho pt $x^2-mx+1=0$( m nguyên và m>3)
Chứng minh rằng với $S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^n$ thì $S_{n}$ không chia hết cho m-1

Cho n là số tự nhiện lớn hơn 2 CMR $n^4+4^n$ là hợp số

Cho hình vuông ABCD cạnh a.Trên BC lấy E khác B và C,trên CD lấy F sao cho $\widehat{EAF}=45^0$.BD cắt AE ,AF tại H và G
1) CMR $\frac{GH}{EF}$ không đổi
2) AI cắt EF tại K.CMR BK và HF song song
3) Tìm GTLN của diện tích tam giác AEF khi E di chuyển trên BC( E khác B và C) sao cho vẫn thỏa mãn gt $\widehat{EAF}=45^0$

Cho $0< x,y\leq \frac{1}{2}$ CMR
$\left ( \frac{x+y}{2-x-y} \right )^2\geq \frac{xy}{(1-x)(1-y))}$

Tìm số $\overline{abcd}$ thỏa mãn cả 2 điều kiện sau:
i) Chữ số liền sau lớn hơn chữ số liền trước
ii) Tổng p+q nhỏ nhất trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và đơn vị còn q là tỉ số giữa chữ số hàng nghìn và hàng trăm

Tam giác ABC nội tiếp (O).3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.EF cắt BC tại G.AG cắt (O) tại M khác A.
1)CMR 4 điểm M,A,E,F cùng thuộc 1 đường tròn
2)Gọi N là trung điểm của BC.CMR GH vuông góc AN

Cho pt $\frac{4x^2}{x^4+2x^2+1}-\frac{2(2m-1)x}{x^2+1}+m^2-m-6=0$
Tìm m để pt có nghiệm