giải phương trình sau

      x+3+$(\sqrt{3x+2}-4)\sqrt{3x-2x^2}+(x-1)\sqrt{3x+2}$=$3x^2$

ĐK: $0\leq x\leq \frac{3}{2}$

Phương trình đã cho suy ra: $x+3+(\sqrt{3x+2}-4)\sqrt{3x-2x^2}+(x-1)\sqrt{3x+2}=3x^2\Rightarrow (\sqrt{3x+2}-4)(\sqrt{3x-2x^2}+x-1)-3x^2+5x-1=0\Leftrightarrow (\sqrt{3x+2}-4)(\frac{-3x^2+5x-1}{\sqrt{3x-2x^2}+1-x})+(-3x^2+5x-1)=0\Leftrightarrow (-3x^2+5x-1)(\frac{\sqrt{3x+2}-4}{\sqrt{3x-2x^2}+1-x}+1)=0$

Đến đây 2 trường hợp

+) $-3x^2+5x-1=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}$

+) $\frac{\sqrt{3x+2}-4}{\sqrt{3x-2x^2}+1-x}+1=0\Leftrightarrow \sqrt{3x+2}-4=x-1-\sqrt{3x-2x^2}\Leftrightarrow \sqrt{3x+2}+\sqrt{3x-2x^2}=x-5$.

Kết hợp ĐK thì cái này không thoả mãn

Vậy $x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}$

Thầy ơi thầy up đáp án lên đi thầy

ai giải được bài này em mới khâm phục. mọi người giải giúp em với được ko ạ

Bài này làm như sau:

ĐK: $x \geqslant -\dfrac{3}{4}$

Phương trình tương đương:

$x^3-x^2-x+1=\sqrt{4x+3}+\sqrt{3x^2+10x+6}\\ \iff x(x^2-2x-2)+(x+1-\sqrt{4x+3})+(x^2-\sqrt{3x^2+10x+6})=0\\ \iff x(x^2-2x-2)+\dfrac{x^2-2x-2}{x+1+\sqrt{4x+3}}+\dfrac{(x^2-2x-2)(x^2+2x+3)}{x^2+\sqrt{3x^2+10x+6}}=0\\ \iff (x^2-2x-2)\left ( \dfrac{x^2+x+x\sqrt{4x+3}+1} {x+1+\sqrt{4x+3}}+\dfrac{x^2+2x+3}{x^2+\sqrt{3x^2+10x+6}}\right )=0$

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc dương

$\implies x^2-2x-2=0\iff x=1\pm \sqrt{3}(TM)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=1\pm \sqrt{3}\hspace{0.5cm}\square$

PS: Lâu mới quay lại diễn đàn, không biết còn ai nhớ tui không!!!!

Cho đường tròn $(O ; R)$, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M bất kì trên OA (M khác O, A), DM cắt (O) tại N. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DM tại E. Nối BN cắt CD tại P. CMR : Tìm vị trí của M sao cho $\frac{OM}{MA} + \frac{OP}{CP}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $\Delta DMO \sim \Delta DCN\Rightarrow \frac{OM}{NC}=\frac{DM}{CD}$

$\Delta AMN \sim \Delta DMB\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{BD}{DM}$

Do đó: $\frac{OM}{NC}.\frac{AN}{AM}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\Rightarrow \frac{OM}{AM}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{CN}{AN}$

Tương tự: $\frac{OP}{CP}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{AN}{NC}$

Vậy: $\frac{OM}{MA}+\frac{OP}{CP} \geqslant 2\sqrt{\frac{OM.OP}{MA.CP}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: N là điểm chính giữa cung nhỏ AC $\blacksquare$

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$

Cho hệ phương trình x+my=m+1 và mx+y=3m-1.

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có hệ duy nhất thỏa mãn tích x.y nhỏ nhất.

(bài 4b ấy ạ). Mong mọi người giúp em

Rút x từ $PT(1)$ thay vào $PT(2)$: $\begin{align*} &\phantom{\iff~} \left\{\begin{matrix} x+my=m+1\\ mx+y=3m-1 \end{matrix}\right.&\iff \left\{\begin{matrix} x=m+1-my\\ m(m+1-my)+y=3m-1 \end{matrix}\right.\\ &\iff m^2y-y=m^2-2m+1=(m-1)^2\\ \end{align*}$

Hệ có nghiệm duy nhất: $\iff m\neq 1$. Khi đó hệ có nghiêm: $\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{3m+1}{m+1}\\ y=\dfrac{m-1}{m+1} \end{matrix}\right.$

Lúc đó: $xy=\dfrac{(3m+1)(m-1)}{(m+1)^2}=\dfrac{-(m+1)^2+2m^2}{(m+1)^2}\geqslant -1$

Dấu "=" xảy ra: $\iff m=0$ $\square$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho \frac{a^2 - 2}{ab+2} là số nguyên

$bA=\frac{a^2b-2b}{ab+2}=\frac{a(ab+2)-2(a+b)}{ab+2}\Rightarrow \frac{2(a+b)}{ab+2}\in Z\Rightarrow 2(a+b)\geq ab+2$

$ab-2a-2b+2\leq 0\Leftrightarrow (a-2)(b-2)\leq 2$.

mình làm đến bước 2(a+b) chia hết cho ab+2 rùi, sau đó đặt 2(a+b)=k(ab+2), với k=1 thì (a,b)=(4;3) nhưng ko chứng minh đc với k >=2 thì vô lí 

Lúc đó: $2(a+b)\geq 2(ab+2)\Rightarrow a+b\geq ab+2\Leftrightarrow (a-1)(b-1)+1\leq 0$ (vô lí vì a, b $\geq 1$)

Bài 2: a) Xác định đa thức f(x) thỏa mãn cả 3 điều kiện sau: Khi chia cho x-1 dư 4; khi chia cho x+2 dư 1; khi chia cho (x-1)(x+2) thì được thương là 5x² và còn dư

b) Xác định đa thức g(x) thỏa mãn cả 3 điều kiện sau: Khi chia cho x-3 dư 2; khi chia cho x+4 dư 9; khi chia cho x²+x-12 thì được thương là x²+3 và còn dư

Bài 3: a) Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho đa thức 2x⁴+ax²+bx+c chia hết cho đa thức x-2 còn khi chia cho đa thức x²-1 thì dư 2x

b) Cho đa thức A(x) = ax²+bx+c. Xác định hệ số b biết rằng khi chia A cho x-1, chia A cho x+1 đề có cùng số dư

c) Tìm đa thức bậc 3 P(x) biết rằng khi chia P(x) cho x-1, cho x-2, cho x-3 đều dư 6 và P(-1) =18

Bài 2:

a) Từ giả thiết ta có: $\left\{\begin{matrix} f(x)=(x-1)A(x)+4\\ f(x)=(x+2)B(x)+1\\ f(x)=(x-1)(x+2)5x^2+ax+b \end{matrix}\right.$

Lần lượt cho x = 1 và x = -2 ta có: $\left\{\begin{matrix} a+b=4\\ -2a+b=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \boxed{f(x)=5x^2(x-1)(x+2)+x+3=...}$

b) Tương tự câu a)

$\left\{\begin{matrix} g(x)=(x-3)A(x)+2\\ g(x)=(x+4)B(x)+9\\ g(x)=(x-3)(x+4)(x^2+3)+ax+b \end{matrix}\right.$

Lần lượt cho x = 3; x = -4 ta có: $\left\{\begin{matrix} 3a+b=2\\ -4a+b=9 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{g(x)=(x-3)(x+4)(x^2+3)-x+5}$

Bài 3.

a) Từ giả thiết ta có: $\left\{\begin{matrix} 2.2^4+4a+2b+c=0\\ a+b+c+2=2\\ a-b+c+2=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-34}{3}\\ b=2\\ c=\frac{28}{3} \end{matrix}\right.$

b) Lần lượt cho x = 1 và x = -1 ta có:

$\left\{\begin{matrix} A(x)=(x-1)f(x)+m(x)\\ A(x)=(x+1)g(x)+m(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=m(x)\\ a-b+c=m(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=a-b+c\Rightarrow b=0$

c) P(x) bậc 3 nên nó có dang: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\left\{\begin{matrix} P(x)=(x-1)A(x)+6\\ P(x)=(x-2)B(x)+6\\ P(x)=(x-3)C(x)+6 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c+d=6\\ 8a+4b+2c+d=6\\ 27a+9b+3c+d=6\\ -a+b-c+d=-18 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-6\\ c=11\\ d=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{P(x)=x^3-6x^2+11x}$

Cách khác:

P(x) có bậc 3 và chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư 6 nên:

$P(x)-6=(x-1)(x-2)(x-3)m$ (m là hằng số)

Vì $P(-1)=-18\Rightarrow -18-6=(-2)(-3)(-4)m\Rightarrow m=1\Rightarrow \boxed{P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+6=x^3-6x^2+11x-6}$

bước 4 làm sao để chuyển sang bươc 5 được như thế????

$3\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Sau một thời gian tìm hiểu về $LATEX$, mình up bản Tex topic:

 he pt.pdf   159.3K   486 Số lần tải

Tài liệu hay nhưng mình vẫn muốn có một góp ý nho nhỏ: bạn có thể cho thêm phần "các bài toán chưa có lời giải" không ?

Ừ, mình sẽ bổ sung và up lên sau

Tuyển tập đề thi vào các trường THPT chuyên trên toàn quốc năm 2017 - 2018

$\boxed{1}$ Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm - Hà Nội (2 vòng )

$\boxed{2}$ Trường THPT KHTN - ĐHQG Hà Nội (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{3}$ Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hoá (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{4}$ Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{5}$ Trường THPT Chuyên PTNK - ĐHQG TP. Hồ Chí Minh (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{6}$ Trường THPT Chuyên Hưng Yên - Hưng Yên (Vòng 2)

$\boxed{7}$ Trường THPT Chuyên Bà Rịa - Vũng Tàu (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{8}$ Trường THPT Chuyên Bạc Liêu - Bạc Liêu (Vòng 2)

$\boxed{9}$ Trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận (Vòng 1; Vòng 2 )

$\boxed{10}$ Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình (Vòng 2)

$\boxed{11}$ Trường THPT Chuyên Khánh Hoà - Khánh Hoà (Vòng 2)

$\boxed{12}$ Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương (Vòng 1; Vòng 2)

$\boxed{13}$ Trường THPT Chuyên Tây Ninh (Vòng 2)

$\boxed{14}$ Trường THPT Chuyên Ninh Bình - Ninh Bình (Vòng 2)

$\boxed{15}$ Các THPT Chuyên TP. Hồ Chí Minh 

$\boxed{16}$ Trường THPT Chuyên Bình Phước - Bình Phước (Vòng 2)

$\boxed{17}$ Trường THPT Chuyên Đồng Tháp - Đồng Tháp (Vòng 2)

$\boxed{18}$ Trường THPT Chuyên Tiền Giang - Tiền Giang (Vòng 2)

$\boxed{19}$ Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng (Vòng 2)

$\boxed{20}$ Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị (Vòng 2)

$\boxed{21}$ Trường THPT Chuyên Quốc Học - Thừa Thiên Huế (Chuyên Toán; Chuyên Tin)

$\boxed{22}$ Trường THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh (Vòng 2)

$\boxed{23}$ Trường THPT Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh (Vòng 2)

Topic sẽ luôn được cập nhập mới. Mong các ĐHV THCS cập nhập thêm... Khi cập nhật nhớ theo mẫu: ĐỀ THI CHUYÊN GÌ - TÊN TỈNH (bổ sung thêm). Các ĐHV khoá topic!

Chứng minh AB,CD,EF đồng quy 

Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $I$, suy ra: $I$ thuộc trục đẳng phương của 3 đường tròn hay $I$ cũng thuộc $EF$

                                                                                            " Góp vui cho topic "   

Mình xin tham gia topic và mở đầu bằng hai bài toán .

Bài 89 ( APMO 2000 ): Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và phân giác AN . Đường thẳng vuông góc với AN tại N cắt AB và AM lần lượt tại P và Q . Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O . Chứng minh rằng OQ vuông góc với BC . 

Bài 90 ( sưu tầm ) : Cho tam giác ABC có I là trung điểm BC , đường thẳng d đi qua I cắt AB , AC lần lượt tại M và N , đường thẳng d' đi qua I cắt AB ,AC lần lượt tại Q và P ( M và P nàm cùng phía với BC ) . MP , NQ cắt BC tại E và F . Chứng minh rằng IE = IF .

$\boxed{\text{Lời giải bài 90}}$

PS: Bài này bạn thiếu đề tí...

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\Delta ABC$ với $\overline{F,Q,N}$ ta có: $\frac{FB}{FC}.\frac{NC}{NA}.\frac{QA}{QB}=1\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{NA}{NC}.\frac{QB}{QA}$

$\Delta ABC$ với $\overline{E,P,M}\Rightarrow \dfrac{EC}{EB}.\dfrac{MB}{MA}.\dfrac{PA}{PC}=1\Rightarrow \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PC}{PA}$

$\Delta ABC$ với $\overline{Q,I,P}\Rightarrow \dfrac{PC}{PA}.\dfrac{QA}{QB}.\dfrac{IB}{IC}=1\Rightarrow \frac{PC}{PA}=\dfrac{QB}{QQ}$

Tương tự: $\Delta ABC$ với $\overline{M,I,N}\Rightarrow \dfrac{NC}{NA}.\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{IB}{IC}=1\Rightarrow \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$

Vậy $\frac{FB}{FC}=\frac{EC}{EB}\Rightarrow BF=CE\Rightarrow IE=IF$

Bài 93(sưu tầm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB>AC. Tia phân giác cua góc BAC cắt đường tròn (O) tại D (D khác A) và cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại E. Gọi F la giao điểm của BD và AC.

a)Chứng minh EF//BC

b)Gọi M là giao điểm của AD va BC. Các tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại N.Chứng minh rằng:$\frac{1}{BN}=\frac{1}{BE}+\frac{1}{BM}$

Mặc dù đây là một bài toán dễ nhưng xuất hiện trong topic nên mình đành làm lời giải

a) Ta có: $\widehat{BEA}=\dfrac{1}{2}(sđAB-sđBD )=\dfrac{1}{2}(sđ AB-sđ DC)=\widehat{BFA}$ nên BEFA nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{BAE}=\widehat{DBC}\Rightarrow BC//EF$

b) Theo định lí $Thales$ ta có: $\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{DN}{BM}=\frac{NE}{BE}\Rightarrow \dfrac{BN}{BE}+\dfrac{BN}{BM}=1\Rightarrow \dfrac{1}{BN}=\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{BM}$

PS: MrCooper cho mình viết tổng hợp cùng với nhé!!!

Bài 86. (IMO Shortlist 2007) Cho năm điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD là hình bình hành, BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn. Đường thẳng (d) qua A cắt DC và BC tại F và G thỏa mãn $EF=EG=EC$. Chứng minh rằng (d) là phân giác góc A.

$\boxed{\text{Lời giải bài 86}}$

Gọi $H;N;K$ lần lượt là hình chiếu của $E$ xuống $DC;BC;BD$ $\Rightarrow \overline{H,N,K}$ (đường thẳng $Simson$)

Vì các $\Delta ECF; \Delta ECG$ cân nên $H;N$ lần lượt là trung điểm của $CF;CG$

Do đó: $KH//AF$$\Rightarrow K$là trung điểm của $BD\Rightarrow \overline{A,K,C}\Rightarrow \Delta EDB$ cân tại $E$

Từ đó: $\Rightarrow \widehat{BCE}=\widehat{BDE}=\widehat{EBD}=\widehat{ECF}\Rightarrow \widehat{EGC}=\widehat{EFC}$. Mà: $\widehat{EFG}=\widehat{EGF}\Rightarrow \widehat{CFG}=\widehat{CGF}\Rightarrow \widehat{DAF}=\widehat{FAB}$

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 81(APMO):

Cho tam giác $ABC$; đường cao $AD;BE;CF$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $OA;OB;OC;OD;OE;OF$ chia tam giác $ABC$ thành $3$ cặp tam giác bằng nhau.

geogebra-export (1).png

$\boxed{\text{Lời giải bài 81}}$

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AC

Dễ thấy: $\widehat{BOF}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BAC}$

Lại có: $\widehat{BPO}=\widehat{BEA}=90^o \Rightarrow \Delta BOP \sim \Delta BAE (g.g)\Rightarrow \frac{OP}{EA}=\frac{OB}{BA}$

Chứng minh tương tự: $\Delta BDA \sim \Delta OQA(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{OQ}=\frac{BA}{OA}$

Từ hai điều trên ta có: $\frac{OP}{EA}=\frac{OQ}{BD}\Rightarrow OP.BD=EA.OQ\Rightarrow S_{OBD}=S_{OAE}$

Các cặp còn lại chứng minh tương tự

Ai có đề thi HSG lớp 9 vòng 1+2 năm này (2016-2017) cho mình xin vài cái, sắp thi rồi mà chưa ôn được gì???

Anh ơi file bị lỗi rồi...

Ai có thể cho em xin file khác của quyển Hình học không ạ??

Plssss...

Em cảm ơn. 

Bạn có hai quyển của NGUyễn Vũ Thanh đó chưa? Có cho mình xin link hoặc phiền bạn gửi cho mình qua địa chỉ: [email protected]. cảm ơn bạn nhiều!!!!!!!!!!!!

ai co tai lieu ve he pt ko cho em xem voi 

Có đấy. Mail bạn là gì mình gửi cho. Tài liệu cực hay mình sưu tầm được

Bài toán 90 : Cho các số thực $a,b,c$\in [0;1]$. Cmr : $a^3+b^3+c^3\leq a^3b +b^3c+c^3a$

$\boxed{\text{Lời giải bài 90}}$

BĐT đã cho tương đương với: $a^3(1-b)+b^3(1-c)+c^3(1-a)\leqslant 0$ (BĐT này luôn đúng vì $a,b,c$ $\in [0;1]$)

Dấu "=" xảy ra khi: $(a,b,c)=(1,1,1);(0,1,0);(0,0,0)(1,1,0)$ và các hoán vị

Bài 3:

BĐT đã cho tương đương với: $2(\sum \sqrt{a})\geqslant 2\sum ab\Leftrightarrow 2(\sum \sqrt{a}) \geqslant (\sum a)^2-(\sum a^2) \Leftrightarrow \sum a^2+2(\sum a) \geqslant 9$

Mặt khác, theo BĐT $AM-GM$ ta có: $a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geqslant 3a\Rightarrow \sum a^2+2(\sum \sqrt{a})\geqslant 3(\sum a)=9\Rightarrow Q.E.D$

Bài 7:

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)+4=(a+b+c)(ab+bc+ca)+3=\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}+\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}+\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}+3\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{(a+b+c)^3(ab+bc+ca)^3}{9}}= 4(a+b+c)\sqrt[4]{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{9(a+b+c)}}$

Mà: $9(a+b+c)=9abc(a+b+c)\leqslant 3(ab+bc+ca)^2\leqslant (ab+bc+ca)^3$ (vì $ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$

Do đó ta có đpcm

Cho A_n - 2 = ($\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)ⁿ+($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$)ⁿ. TÌm n để A_n là số chính phương (mình nghĩ đoạn này thiếu đề)

Ta có: $A_{n}-2=\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^n+\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^n= \left ( \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \right )^n+\left ( \frac{6-2\sqrt{5}}{4} \right )^n-2=\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^{2n}+\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{2n}-2\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^{n}\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{n}=\left [ \left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^n +\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^n\right ]^2$

Đặt $a_{1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2};b_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}+b_{1}=\sqrt{5}\\ a_{1}b_{1}=1 \end{matrix}\right.$

Xét $U_{n}=a_{1}^n+b_{1}^n$

Với $n\geq 1\Rightarrow U_{n+2}=a_{1}^{n+2}+a_{2}^{n+2}=(a_{1}+b_{1})(a_{1}^{n+1}+b_{1}^{n+1})-a_{1}b_{1}(a_{1}^n+b_{1}^n)=\sqrt{5}U_{n+1}-U_{n}$

Ta có: $U_{1}=1\in Z;U_{2}=\sqrt{5}\notin Z;U_{3}=4 \in Z;U_{4}=3\sqrt{5}\notin Z...$

Tiếp tục quá trình trên ta được $U_{n}\in Z \Leftrightarrow n=2k+1(k\in \mathbb{Z})$

cho  2 số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} =1$. tìm gtln của BT P=xy²

Dễ. Không ai làm thì mình làm

Từ giả thiết: $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} =1\Rightarrow \frac{2y}{y+1}=1-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}\Rightarrow \frac{1}{x+1}=2\frac{y}{y+1}$

Tương tự: $1-\frac{y}{y+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\Rightarrow \frac{1}{y+1}\geq 2\sqrt{\frac{xy}{(x+1)(y+1)}}\Rightarrow \frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{y+1}\geq \frac{8xy^2}{(y+1)(x+1)(y+1)}\Rightarrow 1\geq 8xy^2\Rightarrow xy^2\leq \frac{1}{8}$

PS: Ừ, quên