Giải

• $MN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt{SH^2 + HC^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ 
• $NP = \sqrt{CN^2 + CP^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• $MP = \sqrt{MK^2 + KP^2} = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right )^2 + \left (\dfrac{3a}{4} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Không biết đúng không nữa

Giải

Đặt $\sqrt{x + 2y} = a; \sqrt{4x + y} = b \, (a, b \geq 0) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = \dfrac{2b^2 – a^2}{7}\\y = \dfrac{4a^2 – b^2}{7}\\a + b = 5\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

$3 \left ( \dfrac{2b^2 – a^2}{7}\right )^2 – 7\dfrac{(2b^2 – a^2)(4a^2 – b^2)}{7^2} - 2 \left ( \dfrac{4a^2 – b^2}{7}\right )^2 + a^2 = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{49}\left (24b^4 -59a^2b^2 – a^4\right ) + a^2(\dfrac{a + b}{5})^2 = 0$

$\Leftrightarrow 12a^4 + 49a^3b – 713a^2b^2 + 300b^4 = 0$

Nhận thấy: $b = 0$ không phải nghiệm

Với $b \neq 0$, đặt $\dfrac{a}{b} = t \geq 0$, khi đó:

$12t^4 + 49t^3 – 713t^2 + 300 = 0 $

$\Leftrightarrow (3t - 2)(t + 10)(4t^2 – 21t - 15) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = \dfrac{2}{3}\\t = -10\\t = \dfrac{21 \pm \sqrt{681}}{8}\end{matrix}\right.$

Do $t \geq 0$ nên: $\left[\begin{matrix}t = \dfrac{2}{3}\\t = \dfrac{21 + \sqrt{681}}{8}\end{matrix}\right.$

Với 2 giá trị t trên, ta tìm được a, b, từ đó suy ra được hai cặp x, y:

$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x = 2\\y = 1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{2b^2 – a^2}{7}\\y = \dfrac{4a^2 – b^2}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$ Với $a = \dfrac{\sqrt{681} - 9}{4}$ và $b = \dfrac{29 -\sqrt{681}}{4}$

Giải

ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 1$

Đặt $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = a \geq 0\Rightarrow a^2 = x + y - 2\sqrt{xy - x - y + 1}$

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}\right )^2 + \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 + \sqrt{(x - 1)(y - 1)} \geq 2$

Áp dụng BĐT: $\sqrt{(x - 1)(y - 1)} \leq \dfrac{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1})^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$

$\Rightarrow 2 \leq a^2 + a \leq 2 + \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow 1 \leq a \leq \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}$ (Do $a \geq 0$ )

Ta có: $P = 4 - a \geq 4 - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}  = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$

Ta lại có: $P = 4 - a \leq 4 - 1 = 3$

Vậy $Min_P = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{17 - 2\sqrt{7}}{9}$

Và $Max_P = 3$ khi $x = 2; y = 1$ và ngược lại.

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}(2x^2 + y)(x + y) + 2x^2 + y + x + y = 7\\2(2x^2 + y) + x + y = 7\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a = 2x^2 + y\\b = x + y\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}ab + a + b = 7\\2a + b = 7\end{matrix}\right.$

Hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế.

Giải

ĐK: $x \geq -1$
Phương trình tương đương:

$10\sqrt{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = 3(x^2 - x + 1) + 3(x + 1)$

$\Leftrightarrow 10\sqrt{\dfrac{x + 1}{x^2 - x + 1}} = 3 + \dfrac{3(x + 1)}{x^2 - x + 1}$

Đặt $t = \sqrt{\dfrac{x + 1}{x^2 - x + 1}} \Rightarrow 3t^2 - 10t + 3 = 0$

Chắc đề là: $\left\{\begin{matrix}x^2 + 5xy + 5y^2 = 8\\x^3 + 3xy(x + y) + 2y^3 = -16\end{matrix}\right.$

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}x^2 + 5y(x + y) = 8\\(x + y)^3 + y^3 = -16\end{matrix}\right.$

Đặt $t = x + y \Rightarrow x = t - y$, ta được:
$\left\{\begin{matrix}(t - y)^2 + 5ty = 8\\t^3 + y^3 = -16\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t^2 + y^2 + 3ty = 8\\t^3 + y^3 = -16\end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 1

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\cos{2x}\left ( \cos{2x} - 1\right ) = 4(1 - \cos^2{2x})\cos^2{x}$

$\Leftrightarrow (\cos{2x} - 1)\left [ \cos{2x} + 4(1 + \cos{2x})\cos^2{x}\right ]$

$\Leftrightarrow (\cos{2x} - 1)(2\cos^2{x} - 1 + 8\cos^4{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\cos{2x} - 1)(4\cos^2{x} - 1)(2\cos^2{x} + 1) = 0$

Bạn tự làm tiếp nhé

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

Phương trình tương đương:

$2(\cos{6x} + \cos{4x}) = \sin{2x} + \sqrt{3}(\cos{2x} + 1)$

$\Leftrightarrow 4\cos{5x}\cos{x} = 2\sin{x}\cos{x} + 2\sqrt{3}\cos^2{x}$

$\Leftrightarrow \cos{x}(\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} - 2\cos{5x}) = 0$

- Nếu $\cos{x} = 0$ thì $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi (k \in Z)$

- Nếu $\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} - 2\cos{5x} = 0 $

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} = \cos{5x}$

$\Leftrightarrow \cos{(x - \dfrac{\pi}{6})} = \cos{5x}$

Vậy là OK rồi hén!

Giải

ĐKXĐ: $x \neq \dfrac{y}{2}$

Đặt $a = 2x + y; b = 2x - y \, (b \neq 0)$, ta được:
$\left\{\begin{matrix} 8a^2 - 10ab - 3b^2 = 0\\a - \dfrac{2}{b} = 2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2a - 3b)(4a + b) = 0\\a - \dfrac{2}{b} = 2 \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình đã được đơn giản hóa. Bạn thử làm tiếp nhé!

• $f’(t) > 0$ $\forall$ $t \in (- \propto; - 2)$
• $f’(t) < 0$ $\forall$ $t \in (-2; 1]$

Giải