Cho 2 phương trình: $x^2+\sqrt{2}(a+\frac{1}{b})x+\frac{25}{8}=0(1)$

                         và $x^2+\sqrt{3}(b+\frac{1}{a})x+\frac{75}{16}=0(2)$

Trong đó $a,b>0, a+b=1$

CMR một trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Cho $a,b,c >0$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của: $\sum \frac{\sqrt{a^2+1} \sqrt{b^2+1}}{ \sqrt{c^2+1}} $

Ta có: $\frac{\sqrt{a^2+1}\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=\frac{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\sqrt{b^2+ab+ac+bc}}{\sqrt{c^2+ab+ac+bc}}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}\sqrt{(b+a)(b+c)}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}=a+b$

Tương tự cộng lại ta có: $P=2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{1+2b}\geqslant \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2+b^2}$

áp dung bđt 

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geqslant \frac{2}{1+ab}$

=> $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2+b^2}\geqslant \frac{2}{2+ab}=Vp$

=>a=b=1

Ngược dấu rồi bạn tề

Theo AM-GM

$\frac{x^3}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3x}{2}$

Thiết lập tương tự ta sẽ có: $\sum \frac{x^3}{y(x+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{\sum \sqrt{xy}}{2}=\frac{1}{2}$

Rút gọn

$(\sqrt{\sqrt{13}-3}+\sqrt{\sqrt{13}+3}):\sqrt{\sqrt{13}+2}$

Bình phương $VT$ ta có: $\sqrt{13}-3+\sqrt{13}+3+2\sqrt{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}=2\sqrt{13}+4$

suy ra: $P=\frac{\sqrt{2(\sqrt{13}+2)}}{\sqrt{13}+2}=\sqrt{2}$

p/s: Chú đừng rảnh lắm

cho tam giac ABC co AB>AC .ve cac duong cao CM,BN .phan giac AD ,tren AB lay K sao cho AC= BK ,E la trung diem BC ,F la trung diem AK .
a.Chung minh AD song song EF
b.goc AMN= goc ABC

Câu b: Một câu khá quen thuộc

Ta có: $\Delta ABN\sim \Delta ACM(g.g)\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow \Delta AMN\sim \Delta ACB(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AMN}\doteq \widehat{ACB}$

cho tam giac ABC co AB>AC .ve cac duong cao CM,BN .phan giac AD ,tren AB lay K sao cho AC= BK ,E la trung diem BC ,F la trung diem AK .
a.Chung minh AD song song EF
b.goc AMN= goc ABC

Câu b: $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ chứ?????

Bạn tự vẽ hình nha.

Trên nửa mp bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = BAD. Bx cắt AD tại M.

Ta có: $\Delta ADC \sim \Delta BDM (g.g) \Rightarrow AD . DM=BD.DC$

 $\Delta ADC \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AB.AC=AD.DM$

$\Rightarrow AD.AM - AD.DM = AB.AC-BD.DC \Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.DC < AB.AC (đpcm)$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. CMR

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ba}{\sqrt{a+ba}}\leq \frac{1}{2}$

$\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

p/s: ))

Giải phương trình: $(x+\sqrt{x^2+2010})(y+\sqrt{y^2+2010})=2010$

Ta có: $x+\sqrt{x^2+2010}=\frac{2010}{y+\sqrt{y^2+2010}}=y-\sqrt{y^2+2010}$
Tương tự: $y+\sqrt{y^2+2010}=x-\sqrt{x^2-2010}$
Cộng lại ta có:$x=y$
Thế vào giải tiếp...

P/s: đag on đt nên bất tiện.. 

Đáp án của Thầy Hùng:

Đây, mình giải quyết cho.

Bạn tự vẽ hình nha.

Vẽ (O₁ ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Gọi giao của (O1) vs AB là K.

Ta có: T/g HEAK nt (O1) =>  $\widehat{HKA}=\widehat{AEG} (1)$

Mà $\Delta AEG\sim \Delta ACB(g.g) \Rightarrow \widehat{AEG}=\widehat{ABC} (2)$

Từ (1) (2) suy ra: 

$\widehat{HKA} = \widehat{HKG} \Rightarrow \Delta KHB$ cân tại H

Mà HG vuông góc với KB => GB = GK => K cố định.

hay tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HAE$ luôn nằm trên một đường cố định(là đường trung trực của AK)

Mình xin góp thêm bài:

Cho (O,R) và (O',R') cắt nhau tại A và B. Từ C trên tia đối của tia AB vẽ tt CD, CE đến (O) điểm E nằm trong (O') AD,AE cắt (O') tại M,N. DE cắt MN tại I.

CMR: a, NI.BE=BI.AE

          b, C/m I là trung điểm của MN

          c, Khi C thay đổi thì DE luôn đi qua một điểm cố định.

Cho $a,b,c$ là các số dương tùy ý, CMR $\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{cb}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}$$\leq 1$

$\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{3}{2}-\sum \frac{1}{2}.\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{2}. \sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Giải phương trình:  $2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

Mọi người giúp mình với ạ. Thanks <3

Câu mấy bn?

1.$\sqrt{x^2-5x+4}\leq x+1$

2.$\sqrt{x+4}+1> \sqrt{2x-6}$

3.$\left | x^2-x \right |\leq 2$

3. 

$\left | x^2-x \right |\leq 2\Rightarrow \begin{bmatrix} x^2-x\leq 2\\ x^2-x\geq -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x^2-x-2\leq 0\\ x^2-x+2\geq 0 \end{bmatrix} \Rightarrow 2\geq x\geq -1$

Bạn tự vẽ hình nha.

Gọi giao của EC với AB là M'. Ta cần c/m $M\equiv M'$

Thật vậy:

$\Delta M'EB \sim \Delta M'BC(g.g)\Rightarrow M'B^2 = M'E.M'C (1)$

$\widehat{M'AE} = \widehat{HDC}=\widehat{ECA} \Rightarrow \Delta M'AE\sim \Delta M'CA(g.g)$ hay $M'A^2=M'E.M'C(2)$

Từ (1)(2) suy ra: AM'=BM' hay M' là trung điểm của AB 

suy ra: $M\equiv M'$ hay M,C,E thẳng hàng (ĐPCM)

1.$\sqrt{x^2-5x+4}\leq x+1$

2.$\sqrt{x+4}+1> \sqrt{2x-6}$

3.$\left | x^2-x \right |\leq 2$

1.

Bình phương 2 vế ta có:

$x^2-5x+4\leq x^2+2x+1\Rightarrow 7x-3\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{7}$

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c luôn có:

$\sqrt[3]{\frac{a^5(b+c)}{(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^5(c+a)}{(c^2+a^2)(b^2+ca)^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^5(a+b)}{(a^2+b^2)(c^2+ab)^2}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Có đây bạn nha. https://diendantoanh...endmatrixright/

Đang on=đt nên ko trình bày được

Ta có:

sao b²$\leq$b,c³$\leq$c

Vì $b\leq1$ nên b^2$\leq$b

Thực ra các số bé hơn 1 càng gấp lên càng nhỏ. Tuy nhân nhưng mà chia đó bạn.

Bạn chưa hiểu thì hỏi mình tiếp nha!