Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Thêm một bài nửa nha
Cũng Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(c+a)(a+b)(b-c)

bạn thay $a-b=-\left [ (c-a)+(b-c) \right ]$ là xong
Kết quả:(b-c)(c-a)(b-a)

AI GIẢI DÙM MÌNH BÀI NÀY VỚI
Phân tích đa thức thành nhân tử
a(b²+c²+bc)+b(c²+a²+ac)+c(a²+b²+ab)

LÀM GIÙM NHA

biến đổi ta sẽ có:(a+b+c)(ab+bc+ca)

Không x,y,z không $\geq 0$ anh ơi ~~

ý bạn là sao?

Cách khác theo như chủ topic
nhìn nhầm bài anh triết
Cách Khác
$\sqrt{4.x+1}+\sqrt{4.y+1}+\sqrt{4.z+1} \leq \sqrt{3.(4(x+y+z)+3)} =\sqrt{21}$
Dấu = sảy ra $\leftrightarrow x=y=z =\frac{1}{3}$

bạn có thể nói rõ về $\sqrt{2(4x+1+4y+1)}\leq \sqrt{12}$

Bạn có nhầm a,b,c với x,y,z không?
P là đa thức đồng biến trên R nên x,y,z tăng thì P tăng theo, sao có MAX được?
Còn nếu tìm min thì 3 cái căn =0 $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-1}{4}$

mình sửa đề rồi

Trong bài của bạn Tru09 làm gì có: $\sqrt{2(4x+1+4y+1)}\leq \sqrt{12}$ đâu nhỉ

hình như bạn đó xóa rồi

Cách khác theo như chủ topic
nhìn nhầm bài anh triết
Cách Khác
$\sqrt{4.x+1}+\sqrt{4.y+1}+\sqrt{4.z+1} \leq \sqrt{3.(4(x+y+z)+3)} =\sqrt{21}$
Dấu = sảy ra $\leftrightarrow x=y=z =\frac{1}{3}$

x,y,z \geq 0 đâu mà bạn có BDT kia

Tìm max $\sqrt{4.x+1}+\sqrt{4.y+1}+\sqrt{4.z+1}$ với $x,y,z\epsilon \mathbb{R}$ (giải bằng 3 cách)và $x+y+z=1$, mỗi số $x,y,z\geq \frac{-1}{4}$

Bài 1:Cho $x> 0,y $\geq$ 0$ thỏa mãn: $x^3+y^3=x-y$.Tìm max của $P=x^2+y^2.$

Bài 2:Cho $M=x^2+y^2+2z^2+t^2(x,y,z,t \in \mathbb{N})$.Tìm min M biết: $x^2-y^2+t^2=21,x^2+3y^2+4z^2=101$

--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

ban

Xin phép chém bài 2:
Ta nhận thấy $x^{2}+y^{2}+t^{2}=21$ mà x,y,t thuộc N
$\Rightarrow (x,y,t)=(1,2,4)$ và các hoán vị của chúng.
$M=21+2z^{2}\Rightarrow$ để M min thì $2z^{2}$ min
Mà $z^{2}=\frac{101-x^{2}-3y^{2}}{4}=\frac{101-(x^{2}+y^{2})-2y^{2})}{4}$
$x^{2}+y^{2}\leqslant 2^{2}+4^{2}=20$
$2y^{2}\leqslant 2.4^{2}=32$
$\Rightarrow z^{2}\geqslant \frac{101-20-32}{4}=\frac{49}{4}$
Vậy tìm được min M

mình sửa lại đề rồi bạn làm thử đi

đề kia không tìm được đâu

đáp số đúng rồi

$\Rightarrow 0< a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow a\geq a^{2}$
$\Rightarrow a+b+c\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq 1$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 9$
$\Rightarrow A\geq 10$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

nếu a=b=c=1/3 thì A=30 chứ.

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn:$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4a.b+2a.c-20=0$.Chứng minh tam giác đó đều.

$Cho: a,b,c \geq 0,a.b.c=1 ,Tính: P=\frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{a.b}}+\frac{\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}+\sqrt{b.c}}+\frac{\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}+\sqrt{a.c}}$


MOD : Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.
* Nội quy Diễn đàn Toán học
* Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
* Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
* Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
* Tra cứu công thức Toán

Đề này đúng đấy bạn à

thank cac ban nha
MOD: Thay vì post bài viết này thì bạn hãy bấm nút Thank ở trên và vui lòng gõ tiếng Việt có dấu!

Cái này bạn có thể tìm tại liệu về SOS để đọc nếu thích.Nhưng mà làm bất đẳng thức bằng SOS mọi người thương không thích đọc đâu.Híc

bạn ơi SOS là cái gì và tài liệu ở đâu vậy?

Cho a,b,c>0.CM:$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài toán này dấu bằng xảy ra không tại tâm $a=b=c$ đâu nhé!Đây là bài toán mở rộng của thi quốc gia Mĩ

Nếu bài này là đề thi của Mỹ thì đề bài là $a+b+c=3$. Khi đó $a=b=c=1$. Còn nếu không phải như thế thì mình giải sai rồi.

2:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$x+y+z=\sqrt[3]{7}$.Tìm min:$A=(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)$

Đề bài phải là $a+b+c=\sqrt[3]{7}$ nhé!

 

Ta dễ dàng chứng minh các BĐT sau bằng biến đổi tương đương:

                                    $a^5-a^2+3\geq a^3+2$

                                    $b^5-b^2+3\geq b^3+2$

                                    $c^5-c^2+3\geq c^3+2$

Nên ta có:

$A\geq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$

   $=(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)$

   $\geq (a+b+c)^3$   (theo BĐT $Holder$)

   $=7$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt[3]{7}}{3}$

Cho x,y$> 0$ ,$x> 2.y$. Tìm min của: $\frac{x^{2}+y^{2}}{x.y}$

Bài 1 : Cho x>0 ,y>0 , z>0 và x+y+z=xyz 

 

$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

 

Tim max P ?

Đáp số : 3/2

 

 

 

 

Bài 1:

Ta có : $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x(x+y+z)}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z})(1)$    

Tương tự : $\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{y+x}+\frac{z}{y+z})(2)$  

                  $\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{z+y})(3)$  

Từ (1),(2),(3) :

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Vậy max P=$\frac{3}{2}$  khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Theo Swat ta có:
$\sum a^3+3abc \geq \sum a^2b+\sum ab^2$.
Bđt tương đương với:
$\sum a^3+\sum ab^2 \ge 2 \sum a^2b$- đúng theo AM-GM

anh ơi $\sum$ nghĩa là gì vậy ạ?
p/s:anh cho ví dụ về nó nha.

$\sum$ là tổng hoán vị đó bạn
VD $\sum a^2$ trong trường hợp này là $a^2 +b^2 +c^2$

Tại sao lại không là $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ hả anh?