A=$(2^4)^2+2.2^4.2^6+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2$ suy ra $n=12$

bài này tui gặp khá nhiều lời giải gần giống như trên nhưng tui không chắc đây có phài là nghiệm duy nhất hay không

Tìm số tự nhiên $\overline{abcd}$ sao cho số đó chia hết cho tích của $\overline{ab}$ và $\overline{cd}$

Giải

Theo bài ra, ta có: $\overline{abcd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd} \Leftrightarrow \overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}.\overline{cd}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\overline{ab}.100 + \overline{cd} \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\\left[\begin{array}{l} \overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\100 \, \vdots \, \overline{cd} \end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \, \vdots \, \overline{cd}\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\\100 \, \vdots \, \overline{cd}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \overline{ab} = \overline{cd} \,\,\,\,\, (1)\\\left\{\begin{array}{l}\overline{cd} = 10; 20; 25; 50\\\overline{cd} \, \vdots \, \overline{ab}\end{array}\right. \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

* Với $\overline{ab} = \overline{cd}$ theo đề ra, ta có:
$\overline{abab} \, \vdots \, (\overline{ab})^2 \Rightarrow 101 \, \vdots \, \overline{ab}$

Không tồn tại giá trị nào thỏa mãn đề bài.

* Với:
$\overline{cd} = 10 \Rightarrow \overline {ab} = 10$
Cặp số nói trên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$\overline{cd} = 20 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 20$

$\overline{cd} = 25 \Rightarrow \overline{ab} = 25$

$\overline{cd} = 50 \Rightarrow \overline{ab} = 10; 25; 50$
Tất cả các giá trị nói trên đều không thỏa mãn đề bài.

KẾT LUẬN: Không tồn tại số $\overline{abcd}$ để nó chia hết cho tích $\overline{ab}.\overline{cd}$

^^! Po: Không dám chắc vì mình không giỏi phần số học cho lắm!!!

 

theo mình ko thể kết luận nếu ab.100 chia hết cho cd thì ab chia hết cho cd hoặc hoặc 100 chia hết cho cd được vì ab và 100 ko nguyên tố cùng nhau

đặt $\overline{abc}=x$ và $\overline{def}$ bằng y giải phương trình $100x+y=x^2+2xy+y^2$ dùng delta theo biến x suy ra $2500-99y=a^2$ cái này giải ra y có 3 giá trị là 0,1,5 thế vào chỉ có 0 thỏa xong

Tìm các số nguyên dương$x , y , z$ thỏa mãn 2 điều kiện sau

$\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và x²+ y² +z²là các số nguyên

giả thiết cho x,y,z nguyên dương vậy điều kiện 2 luôn đúng

em đọc mấy bài giải trên rồi nhưng không biết cách em có giống mấy cách trên không nếu giống mong mọi người thứ lỗi 

PE giao AQ=I và QF giao AP=J chứng minh được I,J thuộc (O) dùng pascal cho A,A,I,J,E,F suy ra EF, PQ, tiếp tuyến tại A đồng qui và AM giao NF tại T' áp dụng pascal cho A.F.N,J,I,M suy ra P,T',O thẳng hàng suy ra T' trùng T suy ra T, N, F thẳng chứng minh tương tự S,M,E thẳng áp dụng pascal cho A,A,,M,N,F,E suy ra ST, EF tiếp tuyến tại A suy ra ST,PQ,EF, tiếp tuyến tại A đồng qui (em không biết cách viết thứ tự các điểm để dùng pascal nên mong mọi người thứ lỗi)

thiếu ràng buộc giữa Ax và By rồi bạn mình đoán là song song vì nếu ko thì câu c sai để

chứng minh bất kì số nào cũng có thể biểu diễn dưới tổng của các lũy thừa của 2

kéo dài CB cắt tiếp tuyến của A tại N suy ra góc CEA= góc ACB suy ra tam giác ACE đồng dạng tam giác NAC mà chứng minh được S là trung diểm NA mà O là trung điểm AC suy ra tam giác OCE đông dạng tam giác SAC suy ra góc CEO bằng góc ACS suy ra SC vuông với OE

Bài 26 (Azerbaijan JMO). Cho $n\in\mathbb{N}$. Chứng minh rằng:

\[n\sqrt[n+1]{n+2}+\sqrt[n+1]{n+2}-1<n+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}\]

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+...+\frac{n+2}{n+1}>(n+1)\sqrt[n+1]{n+2}$

đúng theo AM-GM nhưng đấu bằng không xảy ra

$\frac{2009}{6-x}+\frac{2011}{4-x}+\frac{2013}{2-x}=\frac{2010}{5-x}+\frac{2012}{3-x}+\frac{2014}{1-x} \Leftrightarrow \frac{2009}{6-x}+1+\frac{2011}{4-x}+1+\frac{2013}{2-x}+1=\frac{2010}{5-x}+1+\frac{2012}{3-x}+1+\frac{2014}{1-x}+1\Leftrightarrow (2015-x)(\frac{1}{6-x}+\frac{1}{4-x}+\frac{1}{2-x}-\frac{1}{5-x}-\frac{1}{3-x}-\frac{1}{1-x})$ đến đây đễ rồi

  Cho tam giác ABC. Điểm I chuyển động trên cạnh BC. Gọi D là hình chiếu của I trên AB. E là hình chiếu của I trên AC. Lấy M đối xứng với A qua D. N đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng

 a, I là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,M,N

 b, Đường tròn (I) ở trên luôn đi qua 1 điểm cố định khác A.

a)do IA=IM=IN là do tính chất trung trực

b) điểm cố định là điểm đối xứng của A qua BC chứng minh điểm này thuộc đường tròn I là do tính chất trung trực 

\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right |\leq 5

Em xin cảm ơn.

$\left | \sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-10x+41} \right | \leq 5$

mình chưa hiểu đề muốn làm gì vậy bạn

1)a) chứng minh bằn hình bình hành câu dùng tam giác AJE đồng đạng AIC suy ra cần chứng minh $ \frac{AE}{AC}=\frac{R}{OI}$ dúng theo cos 

b) ý đầu đùng công thức tinh diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông ý sau thì dùng ý đầu suy ra A là điểm chính giữa cung lơn BC 

c) dùng tịnh tiến suy ra M chạy trên đường tròn có tân tịnh tiến vuông góc với BC cách O một khoảng bằng AH với bán kình vẫn là R

CMR:$\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)}=\frac{n^2}{4n^2+1}$

hình như chỗ này phải là bậc 4 phải không bạn

ta có $\frac{1}{x^2+x} \geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x$

nếu bạn quan tâm cách làm từ đâu có thể tham khảo phương pháp tiếp tuyến

cách dùng AM-GM ta có $\sum a^2+3 \geq \frac{(\sum a)^2}{3}+3 \geq 2(\sum a)$ dấu bằng a=b=c và a+b+c=3 suy ra dpcm

1a)dùng vài bài toán cơ bản sau chứng minh đc MOAQ và NOPB là tứ giác nội tiếp rồi dùng tam giác dồng dạng suy ra $\frac{MP}{OP}=\frac{AP}{QP}$ , và dủng bổ đê sau AQPB nội tiếp suy ra $\frac{PQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$ vậy để thỏa đề thì phải chứng minh BC.QP=AP.OB cái này đúng theo 2 tam giác đồng dạng là BOC và PQA  cái này động dạng góc góc chứng minh dễ dàng

b) câu này thì theo bổ đề câu a) suy ra E là tâm (AQB) vậy EQB=EBQ=QBC suy ra EQ song song BC suy ra dpcm

bạn làm rõ ra được ko, mình chưa hiểu lắm  

bổ đề đầu MOAQ là tứ giác nội tiếp chứng minh bằng góc QMA =90-$\frac{BCA}{2}$=góc QOA chứng minh bằng các đường phân giác

gọi điểm đó là G thì G thuộc cung nhỏ BC sao cho GB=SC

giải

góc BAS=BJS=TAC=TAG suy ra G ko đổi

2)$n^2+1 |n^3-8n^2+2n=n(n^2+1)-8(n^2+1)+n+8$ suy ra $n^2+1|n+8$ suy ra $n+8 \geq n^2+1$ tương dương $-2\leq n \leq 3$ mà n>0 vậy thử vài trường hợp thì suy ra n=2

5) trong các số có dang 11...11 thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993 giả sử a=11...1(m số 1 ) và b=11...1( n số 1 )với m>n suy ra a-b chia hết cho 1993 mà $a-b=111...11.10^{n}$ với m-n số 1 mà $(1993,10^n)=1$ suy ra  111...11 chia hết cho 1993 có m-n số 1

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

bài này vẫn đúng khi đổi điều kiện thành ab+bc+ac+abc=4 và khi đổi điều kiện thành a+b+c+1=4abc thì bất đẳng thức ngược lại tức là

ab+bc+ac $\geq$ a+b+c

dùng cauchy 2 số 

đây là đề thì PTNK tpHCM 2006

ta có $xy\leq \frac{(x+y)^4}{4}$ áp dụng ta có $xy(x^2+y^2) \leq \frac{1}{2}\frac{(2xy+x^2+y^2)}{4}=2$ từ đây suy ra DPCM

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:

           $T=\frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^b+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^c+1}}$

$$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$$ theo chebyshev ta có $\sum a^3 \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^2)=\frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^3)\Leftrightarrow \sum a \leq 3$

theo holder cho $(\sum (8^a+1))T^2 \geq 27$ tiếp tục ta sử dụng bernoulli cho $8^a=(1+7)^a \leq 1+7a$ vậy từ đây đễ dàng dẫn tới T $\geq 1$