Bài 3: Cho $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$ và thỏa mãn: $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$. Tìm GTNN,GTLN của:
$P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$.
Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$, $c=0$ hoặc $4a=4b=c$ (và các hoán vị).
Ta sẽ chứng minh $\min P=1$. Thật vậy ta có có:
$$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{\left ( a+b+c \right )\left (ab+bc+ca \right )}\geq 1$$
$$\Leftrightarrow \left (a+b+c \right )^{3}-3\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )+3abc\geq \left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )$$
$$\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+3abc\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )$$
$$\Leftrightarrow 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )+3abc\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )$$
$$\Leftrightarrow 3abc\geq 0$$
Vì $a$, $b$, $c$ không đồng thời bằng $0$ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$, $c=0$ và các hoán vị.
Ta sẽ chứng minh $\max P=\frac{11}{9}$. Thật vậy, ta có:
$$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \frac{11}{9}$$
$$\Leftrightarrow 9\left ( a+b+c \right )^{3}-\frac{27}{4}\left ( a+b+c \right )^{3}+27abc\leq \frac{11}{4}\left ( a+b+c \right )^{3}$$
$$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{3}\geq 54abc$$
Không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=6$. Đặt $a=x$, $b=y$, $c=4z$. Khi đó $x+y+4z=6$ và $x^{2}+y^{2}+16z^{2}=18$.
Ta sẽ chứng minh $xyz\leq 1$. Ta có:
$$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1+16\left ( z^{2}-2z+1 \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow 32z^{2}\leq 32z$$
$$\Leftrightarrow z\leq 1$$
Mặt khác ta lại có:
$$x^{2}+y^{2}+16z^{2}=18$$
$$-2xy+16z^{2}\left ( x+y \right )^{2}-2xy+16z^{2}=18$$
$$\Leftrightarrow \left ( 4z-6 \right )^{2}=18$$