Cho a,b,c>0, p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc=1
CMR: pq + 6 $\geq$ 5p
Hình như bạn ghi nhầm đề, đề phải là:
$$\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )+6\geq 5\left ( ab+bc+ca \right )$$
Nếu đề đúng như mình ghi thì đây là lời giải của thầy Đặng Thành Nam:
Bất đẳng thức trên tương đương:
$$a+b+c+\dfrac{6}{ab+bc+ca}\geq 5$$
Đặt $P\left ( a,b,c \right )=a+b+c+\dfrac{6}{ab+bc+ca}-5$.
Giả sử $a=\min \left \{ a;b;c \right \}$ thì $a\leq 1$. Do đó:
$$P\left ( a,b,c \right )-P\left ( a,\sqrt{bc},\sqrt{ca} \right )=b+c-2\sqrt{bc}+\dfrac{6}{a\left ( b+c \right )+bc}-\dfrac{6}{2a\sqrt{bc}+bc}=\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}\left [ 1-\dfrac{6a}{\left ( ab+bc+ca \right )\left ( bc+2a\sqrt{bc} \right )} \right ]\geq \left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}\left ( 1-\dfrac{2a}{3} \right )\geq 0$$
Do đó ta cần chứng minh:
$$P\left ( \dfrac{1}{t^{2}},t,t \right )\geq 0, \ \forall t\geq 1$$