mình cũng có một pt dao mai chua dc mong moi nguoi chém giúp nha

Gpt:

$\left ( \frac{5x}{x+5} \right )^{2}=11-x^{2}$

 

ĐKXĐ : $x\neq -5$

 

Dưới đk trên, pt tương đương :

$\Leftrightarrow \left ( \frac{5x}{x+5} \right )^{2}+x^{2} = 11$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{5x}{x+5} - x \right )^{2} = 11 - \frac{10x^2}{x+5}$

$\Leftrightarrow \frac{x^4}{\left (x+5 \right)^2} = 11 - \frac{10x^2}{x+5}$

 

Đặt__ $\frac{x^2}{x+5} = t$

 

pt $\Leftrightarrow t^2 = 11 - 10.t$

 

.................v............v.......................

Đặt_ $X=(x-3)^2$ _ , _ khi đó chuỗi đã cho thành $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(-1\right)^n \dfrac{n!}{n^n} \cdot X^n$

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\left [ \dfrac{\left ( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right ] = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\left (1+\frac{1}{n}  \right )^n} = \dfrac{1}{e}$
 

Vậy khoảng hội tụ là_ ($-e$ ; $e$)___ $\Leftrightarrow -\sqrt{e} +3 < x < \sqrt{e}+3$
 
Khi_ $x=\pm \sqrt{e}+3$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$
Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \dfrac{e^{n+1}.\left( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{e^n.n!} = \dfrac{e .n^n}{\left (n+1 \right )^n} = \dfrac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n} \rightarrow 1$
 Tuy nhiên vì__$\left (1+\dfrac{1}{n}  \right )^n < e$ __nên__$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} > 1$
Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ ($-\sqrt{e} +3$ ; $\sqrt{e}+3$) .

Cho em hỏi tại sao giới hạn $\frac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n}$ lại không tồn tại. Theo em biết thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{ \left(1+\frac{1}{n}\right )^n} = e$. Như vậy thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{\frac{e}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n}} = \frac{\lim_{n\rightarrow +\infty}{e} }{\lim_{n\rightarrow +\infty}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n }}=\frac{e}{e}=1 (?)$

 
Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnit thì ĐK cần là $u_{n+1}<u_{n}$ $\left ( _{*} \right )$
Đúng là khi tính lim thì giới hạn nó tiến về 1 chưa KL đc .
Nhưng $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n < e$

Do ta lấy giới hạn của $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ thì $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ mới bằng $e$ , bạn nhé) .
Vì thế $u_{n+1}>u_{n}$ $\rightarrow$ Ko thỏa đk $\left ( _{*} \right )$
Vậy chuỗi phân kỳ .

Ra kết quả, thử lại :

$49 = 2a+1$

$49 = 3b+1$

$49 = 4c+1$

$49 + 1 = 5d$

$7.7=49$ $\vdots$ $7$

Vậy đáp số 49 (con vịt) $\rightarrow$ thỏa yêu cầu BT .

 

Bé kia chăn vịt khác thường.
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa.
Tiếc thay,
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa.
Hàng 3 xếp vẫn thừa 1 con.
Hàng 4 xếp cũng chưa tròn.
Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy.
Xếp thành hàng 7 đẹp thay.
Vịt bao nhiêu tính được ngay mới tài !
_____
 
Thêm hai từ "tiếc thay" chắc bạn đọc dễ hiểu hơn !!
Bé chăn vịt khác thường $\rightarrow$ muốn chẵn hàng mới ưa $\rightarrow$ nhưng ko được .
Hàng 3 thừa 1 con $\rightarrow$ 49 - 1 = 48 = 3 . 16 $\rightarrow$ chẵn hàng
Hàng 5 thiếu 1 con $\rightarrow$ 49 + 1 = 50 = 5 . 10 $\rightarrow$ chẵn hàng
Đáp số 49 là số lẻ $\rightarrow$ lẻ số con vịt !! Ng` chăn vịt vẫn mong muốn: chẵn hàng.

Giải đúng trên tinh thần : đây là bài toán đố của hs lớp 6 :

 

Gọi $a$ là số con vịt cần tìm , với $0<a<200$ và $a \in \mathbb{N}$

Vì theo đề : "Hàng 2 xếp thấy chưa vừa" , nên $a$ là số lẻ .

và "Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy" , nên $a$ có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 .

Vậy $a$ có chữ số tận cùng là 9 .

Mặt khác, ta có $a$ $\vdots$ $7$ nên $a \in B(7)$ = {0 ; 7 ; 49 ; 343 ; ... } với $0<a<200$ và $a \in \mathbb{N}$

Do đó số con vịt cần tìm là 49 (con) .

Giải luôn bài này cho rồi (up topic)
Ta có: $y^2-4y+5=(y-2)^2+1\geq 1$
$(x-1)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+1\geq 2x$
$\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$ và $y=2$

 

bạn ui, đề ko cho x khác 0 hay là x > 0 , vậy.... $\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}\leq \frac{2x}{2x}=1$ --> chưa chắc (!)

Ví dụ trường hợp $1\geq 0$

vậy khi suy ra $\frac{0}{1}\leq \frac{0}{0}=1$ .... có đc ko nhỉ ???

______

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\left [ \dfrac{3\left ( n+1 \right )+1}{4\left ( n+1 \right )+2} \cdot \dfrac{3n+1}{4n+2} \right ] = ...... =  \dfrac{9}{16}$
 

Vậy khoảng hội tụ là_ $\left(\dfrac{-16}{9} ; \dfrac{16}{9}\right)$___ $\Leftrightarrow \dfrac{-16}{9} < x < \dfrac{16}{9}$
 
Khi_ $x=\pm \dfrac{16}{9}$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \cdot \left(\dfrac{3n+1}{4n+2}\right) \cdot \left(\dfrac{16}{9}\right)^n$

 

Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \left[\dfrac{3(n+1)+1}{4(n+1)+2} \cdot \left(\dfrac{16}{9}\right)^{n+1}\right] : \left[\dfrac{3n+1}{4n+2} \cdot \left(\dfrac{16}{9}\right)^n\right] = ............ = \dfrac{16}{9} > 1$
 

Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \cdot \left(\dfrac{3n+1}{4n+2}\right) \cdot \left(\dfrac{16}{9}\right)^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ $\left(\dfrac{-16}{9} ; \dfrac{16}{9}\right)$

đề bài là gì vậy bạn ?

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\frac{1}{sinx+1} dx$

 
Đặt_ $tan\dfrac{x}{2} = t$  _, khi đó_ $sinx = \dfrac{2t}{1+t^2}$ _và _$dx = \dfrac{2 dt}{1+t^2}$
 

Đổi cận_ $x = \dfrac{2\pi}{3}$ _ta có_ $t=\sqrt{3}$ __; __ $x = \dfrac{\pi}{3}$ _ta có_ $t= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

Vậy_ $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\frac{1}{sinx+1} dx = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} +1} \cdot \dfrac{2 dt}{1+t^2} = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{2dt}{(1+t)^2} = $ ......

Câu 1:      $M=x.(y+z)^{2}+y.(z+x)^{2}+z.(x+y)^{2}-4xyz$
$M=[x.(y+z)^{2}-2xyz]+[y.(z+x)^{2}-2xyz]+z.(x+y)^{2}$
$M=x.(y^2+z^2)+y.(x^2+z^2)+z.(x+y)^{2}$
$M=xy.(x+y)+z^2.(x+y)+z.(x+y)^{2}$
$M=(x+y)(xy+z^2+zx+zy)$
$M=(x+y)(x+y)(y+z)$

$3\tan x(\sin x-1)=\cos x-\sqrt{3}$

ĐK $tanx$ có nghĩa $\Leftrightarrow$ $cosx \neq 0$

 

pt $\Leftrightarrow$ $3tanx . (tanx . cosx - 1) = cosx - \sqrt{3}$

 

$\Leftrightarrow$ $3tan^2x.cosx - cosx - 3tanx + \sqrt{3} = 0$

 

$\Leftrightarrow$ $cosx \left ( \sqrt{3} tanx+1 \right ) . \left ( \sqrt{3} tanx-1 \right ) - \sqrt{3} \left ( \sqrt{3} tanx-1 \right ) = 0$

 

$\Leftrightarrow$ $\left ( \sqrt{3} sinx + cosx \right ) . \left ( \sqrt{3} tanx-1 \right ) - \sqrt{3} \left ( \sqrt{3} tanx-1 \right ) = 0$

 

$\Leftrightarrow$ $2\left ( \sqrt{3} tanx-1 \right ) . \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} sinx + \dfrac{1}{2} cosx - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 0$

 

$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l} tanx=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ cos\dfrac{\pi}{6}sinx+sin\dfrac{\pi}{6}cosx=sin\dfrac{\pi}{3} \\ \end{array} \right.$

 

$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l} tanx=tan\dfrac{\pi}{6} \\ sin\left ( x + \dfrac{\pi}{6} \right )=sin\dfrac{\pi}{3} \\ \end{array} \right.$

 

$\rightarrow$ ........v......v........

chứng minh rằng:
A = $16^{n}-15n-1$ chia hết cho 225 với mọi $n\geq 1$

 
Dùng NT Newton, ta có $16^n = \left( 15+1 \right)^n = 15^n + n . {15}^{n-1} + ... + 15.n + 1$
 
Suy ra $16^n \equiv 15n + 1$ (mod $15^2$)
 
Vậy $16^n - 15n - 1$ $\vdots$ $225$ với mọi $n\geq 1$ .

cho 2 số thực không âm thoả mãn a+b $\leq$ 2 

 

CM : $\frac{2+a}{1+a}$ + $\frac{1-2a}{1+2a}$ $\geq$ 8/7

 

Cho 2 số thực không âm a và b .....

--> trong phần chứng minh --> sao không thấy b vậy bạn ?  

Giải phương trình:

$tan^2{2x}.tan^2{3x}.tan^2{5x}=tan^2{2x}-tan^2{3x}-tan^2{5x}$

 

Câu này mình đã giải !! Bạn có thể click đg` link xem tham khảo !!

 

http://diendantoanho...2x-tan23xtan5x/

$sin2x+cos2x+3.sinx-cosx-2=0$

pt $\Leftrightarrow 2.sinx.cosx+2.cos^2 x -1 +3.sinx-cosx-2=0$

$\Leftrightarrow \left ( 2.sinx.cosx+3.sinx \right ) + \left ( 2.cos^2 x -cosx-3 \right )=0$

CMR

$A=8.\left (cos^8x - sin^8x \right ) - cos6x - 7cos2x$

 

Ko phải cách hay hơn, chỉ là cách khác .

Đặt_$cos2x=t$

Biến đổi $A$ chỉ còn duy nhất biến $ t$_$\rightarrow$ rồi rút gọn .

___________________

 

Ta có_$8\left (cos^8x - sin^8x \right )=8\left (cos^2x+sin^2x \right ).\left (cos^2x-sin^2x \right ).\left (cos^4x+sin^4x \right )$

___$=8 cos2x . \left (1-2sin^2x.cos^2x \right ) = 8cos2x . \left (1- \dfrac{sin^22x}{2}\right )$

___$= 8t . \left (1- \dfrac{1-t^2}{2}\right ) = 4t^3 + 4t$

 

Ta có_$cos6x=4{cos}^{3}2x - 3{cos}^{2}2x = 4t^3 - 3t$

___________________

 

Vậy _$A=8.\left (cos^8x - sin^8x \right ) - cos6x - 7cos2x$

$A= 4t^3 + 4t - \left (4t^3 - 3t \right ) - 7t = 0$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}\right) $

 
Ta có___ $ e = \sum_{n=0}^{\infty } \dfrac{1}{n!} = \dfrac{1}{0!} + \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{n!}$
Do đó__ $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{n!} = e - 1 $
Vậy__ $\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}\right ) = \lim_{n\rightarrow \infty} \left ( \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{n!} \right ) = \lim_{n\rightarrow \infty} \left ( e-1 \right ) = e - 1$

a)Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$

 

Ta có__ $\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = 1$

 

Vậy khoảng hội tụ là_ $(-1 ; 1)$ .

 

Khi_ $x=1$ _, chuỗi_ $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}$ ~ $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}$__hội tụ , _do chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}$ hội tụ .

 

 

Khi_ $x=-1$ _, chuỗi_ $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ ~ $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ _hội tụ , _do chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ hội tụ .

 

Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ $ [ -1 ; 1] $

$\left | A \right |=\left |B  \right | \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=B \\ -A= B \\ \end{array} \right.$

 

$\left | 2x \right |=\left | x(x+1) \right |$

pt $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=x.(x+1) \\ -2x= x.(x+1) \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x.(x-1)=0 \\ x.(x+3)=0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \\ x= -3 \\ \end{array} \right.$

Ta có $M = \dfrac{x - 2} {x + 2\sqrt{x}} - \dfrac{1} {\sqrt{x}}+\dfrac{1} {\sqrt{x}+2}$ ; với $x > 0$

 

 

$M = \dfrac{x - 2 - \sqrt{x} -2 + \sqrt{x}} {x \left (\sqrt{x} + 2 \right )}$

 

$M = \dfrac{x - 4} {x \left (\sqrt{x} + 2 \right )}$

 

$M = \dfrac{\left (\sqrt{x} - 2 \right )\left (\sqrt{x} + 2 \right )} {x \left (\sqrt{x} + 2 \right )}$

 

$M = \dfrac{\sqrt{x} - 2} {x}$

 

................................................................

 

Xét $M - 1 = \dfrac{\sqrt{x} - 2 - x} {x} = \dfrac{-\left (\sqrt{x} - \dfrac{1}{2} \right )^2 - \dfrac{7}{4}} {x} < 0$ , $\forall x > 0$

 

Vậy $M < 1$

 

 

 

 

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(x-2)^{n}}{(2n-1)3^{n}}$$.

 

Đặt_ $X=x-2$ _ , _ khi đó chuỗi đã cho thành $\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{X^n}{(2n-1)3^{n}}$

 

Ta có__ $\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2n-1) . 3^n}{(2n+1) . 3^{n+1}} = \dfrac{1}{3}$

 

Vậy khoảng hội tụ là_ $-3 < X < 3$ ___ $\Leftrightarrow -1 < x < 5$

 

Khi_ $x=5$ _, chuỗi_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(x-2)^{n}}{(2n-1)3^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{2n-1}$  _phân kỳ .

 

Khi_ $x=-1$ _, chuỗi_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(x-2)^{n}}{(2n-1)3^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^n}{2n-1}$ _  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnit .

 

Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ $ [ -1 ; 5) $

$2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}-x \right)\sin x=1$

$\Leftrightarrow 2 . sinx . cos \left(\dfrac{5\pi}{12} - x \right) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0$

$\Leftrightarrow sin\dfrac{5\pi}{12} - sin\left(\dfrac{5\pi}{12} - 2x \right) - sin\dfrac{\pi}{4} = 0$

$\Leftrightarrow 2.cos\dfrac{\pi}{3}sin\dfrac{\pi}{12} = sin\left(\dfrac{5\pi}{12} - 2x \right) $

$\Leftrightarrow sin\dfrac{\pi}{12} = sin\left(\dfrac{5\pi}{12} - 2x \right) $

...........v...........v................

.................
$\Leftrightarrow$ $2cos^2\dfrac{A}{2} = 1$
$\Leftrightarrow$ $2cos^2\dfrac{A}{2} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow$ $cosA = 0$
$\Leftrightarrow$ $A = \dfrac{\pi}{2}$
KL: Tam giác ABC vuông tại A .

Bước đầu.... phần biến đổi có cách khác :

$2 \left ( tanx-sinx-\dfrac{1}{cosx} \right ) \ - \ 3 \left ( cotx-cosx-\dfrac{1}{sinx} \right ) \ = \ 1$
 

$\Leftrightarrow 2.tanx. \left ( 1-cosx-\dfrac{1}{sinx} \right ) \ - \ 3.cotx. \left ( 1-sinx-\dfrac{1}{cosx} \right ) \ = \ 1$
 

ĐK :    $\left\{\begin{matrix}
sinx \neq 0 \\
cosx \neq 0
\end{matrix}\right.$

 

Nhân 2 vế của phương trình cho $\left ( sinx.cosx \right ) \neq 0$ , ta có :

 

pt $\Leftrightarrow 2.\left ( sinx.cosx.tanx \right ) \ (....) - 3.\left ( cotx.sinx.cosx \right ) \ (....) \ = sinx.cosx$

 

$\Leftrightarrow 2. sin^2 x \ .\left ( 1-cosx-\dfrac{1}{sinx} \right ) \ - \ 3. cos^2 x \ .\left ( 1-sinx-\dfrac{1}{cosx} \right )=sinx.cosx$

$\Leftrightarrow 2sinx\left(sinx-sinx.cosx-1\right)+2sinxcosx=3cosx\left(cosx-sinx.cosx-1\right)+3sinxcosx$

$\Leftrightarrow 2.sinx.\left(sinx-sinx.cosx-1+cosx\right)=3.cosx.\left(cosx-sinx.cosx-1+sinx\right)$

$\Leftrightarrow 2.sinx.\left ( sinx-1 \right )\left ( 1-cosx \right )=3.cosx.\left ( 1-sinx \right )\left ( cosx-1 \right )$

.......v.......v......

Phần giải tiếp theo .... giống cách trên !!