Cho $a,b,c >0$, thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của :

P = $\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa điều kiện $a+b\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b^{3}}{(a+1)^{2}}$

ta có

$\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+\frac{a+b+2}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

Cho mình hỏi, tại sao lại dùng các đại lượng như $\frac{b+1}{8}$ để cân bằng ạ??

Và tại sao không hạ bậc ba mà lại hạ từ bậc hai vậy nhỉ?

Cho $x,y,z>0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(y+z)}+\frac{1}{z(z+x)}\geq \frac{27}{2(x+y+z)^{2}}$

Có min thôi ,k có max ak pạn

ukm, đúng rồi

Cho $a,b,c>0$, $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min của:

P= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}} +\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của 

P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

cho em hỏi câu rút gọn biểu thức 1b làm cách nào ạ?

Mọi người giúp em giải chi tiết bài này ạ (được nhiều cách càng tốt).Em cảm ơn

Có bao nhiêu hoán vị khác nhau từ chữ: TOANHOCTUOITRE, trong đó các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

Bài 1: Cho $a,b,c >0$ thỏa$abc=1$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2: Cho $a,b,c \in (0;1]$ Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{3}{3+abc}$

Tính tổng :

$S=(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+3.(C_{n}^{3})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}$

Mọi người giúp em làm bài này ạ (Xin đừng dùng đạo hàm, tích phân). Em cảm ơn

Theo hằng đẳng thức Vandermonde, với $m, n, r$ là các số nguyên không âm sao cho $r$ không vượt quá $m$ hoặc $n$ thì:
$C_{m+n}^{r}=\sum_{k=0}^{r}C_{n}^{r-k}C_{n}^{k}$ $(1)$
Khi $r=m=n$ ta có:
$C_{2nn}^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{$k} \right )^{ của $($\sum_{k=1}^{n}i:
$(2) \Leftrightarrow C_{2n}^{n} \sum_{k=0}^{n}$\sum_{k=0}^{n}k\left ( C_{n}^{10} \right )

anh giúp em viết lại công thức bài này với ạ. Em nhìn không hiểu.

Em cảm ơn

Mọi người có thể giải thích giúp em về Ánh xạ, Nghịch ảnh của ánh xạ, Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh được không ạ?

Nếu có ví dụ dễ hiểu thì càng tốt ạ

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(c+a)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Tính tổng:

$S=\frac{1}{1.2}C_{n}^{0}+\frac{1}{2.3}C_{n}^{1}+\frac{1}{3.4}C_{n}^{2}+...+\frac{1}{(n+1).(n+2)}C_{n}^{n}$

Mọi người giúp em làm bài này ạ (Xin đừng dùng đạo hàm, tích phân). Em cảm ơn

ủa mình có thấy bài này cần dùng đạo hàm tích phân chỗ nào nhỉ, hay là mình nhầm lẫn ta:

Em cảm ơn. Tại em thấy trên mạng có mấy dạng giống vậy mà nó xài đạo hàm, tích phân gì đó. Cơ mà đoạn:

$(C_{n+2}^{2}+...+C_{n+2}^{n+2})$ mình còn biến đổi được nữa không ạ??

Cho $a,b$ là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{8ab}{(a+b)^{2}}\geq 4$

Cho em hỏi cái dấu $\left | \right |$ của $D, D_{f(x)},D_{f(1-x)}$ sử dụng kiến thức gì vậy ạ??

Em mới học lớp 10 nên chưa biết:

Tính:

$\sqrt{1+2007^{2}+\frac{2007^{2}}{2008^{2}}}+\frac{2007}{2008}$

Cho các số thực a,b,c thỏa ab+bc+ca=3

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6(a+b+c)+2017$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

cảm ơn nhiều ạ

Cho $a,b,c>0$ thỏa$abc=8$. Chứng mính rằng:

 $\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}}\geq 1$

Chứng minh: Nếu $m$ là số nguyên dương, thì ƯCLN$(m.a,m.b)$ =$m.$ƯCLN$(a,b)$