Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng
$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$
#2
Đã gửi 02-07-2013 - 18:55
hoangmac
-
- Thành viên
-
- 10 Bài viết
Binh nhì
Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng
$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$
Ta có: $\sqrt{(a+bc)(b+ca)} \leq \dfrac{(a+b)(c+1)}{2}$
Vậy ta cần chứng minh:
$(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$
Lại có: $(1+a+b+c)^2(1+ab+bc+ca)^2=\left[1+(a+b+c)(ab+bc+ca)+a+b+c+ab+bc+ca \right]^2 \geq 4 \left[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \right](a+b+c+ab+bc+ca+abc+1)=4(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmac: 02-07-2013 - 18:56
- DarkBlood, bangbang1412 và hoctrocuanewton thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất, đẳng, thức, và, cực, trị
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Cho tgABC ngt (I).(I) tx BC,CA,AB tại D,E,F.M,N là tđ AB,AC.E',F' đx E,F qua IN,IM.FF' cắt EE' tại A'.CM A' là trực tâm tgBICBắt đầu bởi Explorer, 11-02-2023  hình học, tam giác, ngoại tiếp và .
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016Bắt đầu bởi Beethoven II, 01-01-2019 bất, đẳng, thức
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi Nguyen Hoang Long 02, 15-02-2017 bất
|
|
|
|
|
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
tìm giá trị riêng và vecto riêngBắt đầu bởi tuyet tran, 07-02-2017 giá trị, vecto, tìm và .
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
bất đẳng thức hình họcBắt đầu bởi Trac Huynh, 25-12-2016 bất, đẳng, thức, hình, học
|
|
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
