Chủ đề này có 11 trả lời

[Juliel]

1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng :

$\frac{(a+\frac{1}{b}+1)^{2}}{a^{2}+a+1}+\frac{(b+\frac{1}{c}+1)^{2}}{b^{2}+b+1}+\frac{(c+\frac{1}{a}+1)^{2}}{c^{2}+c+1}\geq 9$

 

2. Cho các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$

 

P.S : Hai bài này thực chất chỉ  là 1 thôi, bài 1 là do em biến hóa từ bài 2 ra nên mọi người chỉ cần làm một bài cũng được. Nếu ai làm được hai bài với hai cách khác nhau thì giải hai cách luôn giùm em ! Em cảm ơn !

 

Đề không sai nhé các bạn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 12-07-2013 - 16:22

[chetdi]

1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng :

$\frac{(a+\frac{1}{b}+1)^{2}}{a^{2}+a+1}+\frac{(b+\frac{1}{c}+1)^{2}}{b^{2}+b+1}+\frac{(c+\frac{1}{a}+1)^{2}}{c^{2}+c+1}\geq 9$

 

2. Cho các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$

 

P.S : Hai bài này thực chất chỉ  là 1 thôi, bài 1 là do em biến hóa từ bài 2 ra nên mọi người chỉ cần làm một bài cũng được. Nếu ai làm được hai bài với hai cách khác nhau thì giải hai cách luôn giùm em ! Em cảm ơn !

hình như chỗ bôi đỏ bị ngược dấu

[Yagami Raito]

 

2. Cho các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$

 

 

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \dfrac{9}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}$

Când chứng minh $2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx\geq (x+y+z)^2$ Ta có: 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2xy-2yz-2zx\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ 

$\Rightarrow \frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}\leq \frac{9}{(x+y+z)^2}$

Ta có ĐPCM. Dấu '=' xayr ra khi $x=y=z$

[Juliel]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \dfrac{9}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}$

Când chứng minh $2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx\geq (x+y+z)^2$ Ta có: 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2xy-2yz-2zx\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ 

$\Rightarrow \frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}\leq \frac{9}{(x+y+z)^2}$

Ta có ĐPCM. Dấu '=' xayr ra khi $x=y=z$

Sai rồi Hiếu à ! Cần chứng minh : $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx\leq (x+y+z)^{2}$ mới đúng. 

[Yagami Raito]

Sai rồi Hiếu à ! Cần chứng minh : $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx\leq (x+y+z)^{2}$ mới đúng. 

Giải hồi loạn cả lên...cần chứng minh $\geq$ cuối cùng kết quả ra $\leq$...hài z (Chắc BĐT có vấn đề )

[vutuanhien]

1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng :

$\frac{(a+\frac{1}{b}+1)^{2}}{a^{2}+a+1}+\frac{(b+\frac{1}{c}+1)^{2}}{b^{2}+b+1}+\frac{(c+\frac{1}{a}+1)^{2}}{c^{2}+c+1}\geq 9$

 

2. Cho các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng :

$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$

 

P.S : Hai bài này thực chất chỉ  là 1 thôi, bài 1 là do em biến hóa từ bài 2 ra nên mọi người chỉ cần làm một bài cũng được. Nếu ai làm được hai bài với hai cách khác nhau thì giải hai cách luôn giùm em ! Em cảm ơn !

 

Đề không sai nhé các bạn !

Bác Juliel để em làm bài 2 nhé

Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo

BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$

Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$

BĐT này chính là BĐT Iran 1996

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 12-07-2013 - 17:11

[chetdi]

Bác Juliel để em làm bài 2 nhé
Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo
BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$
Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
BĐT này chính là BĐT Iran 1996
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

chỗ đó có đẳng thức xảy ra khi x=y=z chứ

Bác Juliel để em làm bài 2 nhé
Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo
BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$
Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
BĐT này chính là BĐT Iran 1996
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

bạn chứng minh chỗ đó như thế nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 12-07-2013 - 19:26

[vutuanhien]

Cách bên trên của mình khá là trâu bò vì phải sử dụng đến BĐT Iran 1996  . Mọi người thông cảm vì đầu óc của mình chỉ được đến thế thôi   

Bài này ngoài ra còn có thêm 1 cách khác

BĐT đã cho tương đương với $\sum \frac{\sum x^2+\sum xy}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{9(\sum x^2+\sum xy)}{(x+y+z)^2}\Leftrightarrow 3+\sum \frac{z(x+y+z)}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{9(\sum x^2+\sum xy)}{(x+y+z)^2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sum \frac{x}{y^2+yz+z^2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x(y^2+yz+z^2)}=\frac{x+y+z}{xy+yz+zx}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $3+\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\geq \frac{9(\sum x^2+\sum xy)}{(x+y+z)^2}\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}+\frac{9(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2}\geq 6$

BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM và ta có điều phải chứng minh

[vutuanhien]

bạn chứng minh chỗ đó như thế nào

Đây là BĐT Iran 1996 rất nổi tiếng bạn ạ. Bạn có thể tìm chứng minh (hơn chục cách) cho bài toán này ở trên mạng hoặc trong rất nhiều sách BĐT (vì nó quá nổi tiếng và có nhiều ứng dụng)

[chetdi]

Đây là BĐT Iran 1996 rất nổi tiếng bạn ạ. Bạn có thể tìm chứng minh (hơn chục cách) cho bài toán này ở trên mạng hoặc trong rất nhiều sách BĐT (vì nó quá nổi tiếng và có nhiều ứng dụng)

bạn chỉ cho mình 1 cách đi

[VodichIMO]

bạn chỉ cho mình 1 cách đi

Ở đây có nhiều cách bạn nè: http://diendantoanho...-dẳng-thức-hay/

[nghiemthanhbach]

Bài 2 áp dụng bất đẳng thức Swarchz là được rồi đó Juliel @@~