[Update] Vừa cập nhật đề thi của ngày thứ hai. Bên dưới là đề thi đầy đủ.
Ngày 1 (23/07/2013)
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ và $n$, tồn tại các số nguyên dương $m_1, m_2, \ldots, m_k$ sao cho \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]
Bài 2. Trên mặt phẳng cho $2013$ điểm màu đỏ và $2014$ điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó ?
(i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$,
(ii) $f(x+y) \geq f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb Q_{>0}$,
(iii) Tồn tại số hữu tỉ $a> 1$ sao cho $f (a) = a$.
Chứng minh rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb Q_{>0}$.
Bài 6. Cho số nguyên $n\geq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,\dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$.
Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự (nghĩa là: $(x,y)$ và $(y,x)$ là khác nhau, trừ khi $x=y$) sao cho $x+y\leq n$ và $\gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 25-07-2013 - 14:43
dịch ẩu, đã sửa lại. Cảm ơn nguyenta