Chủ đề này có 4 trả lời

[badboykmhd123456]

Cho các số thực dương $a,b,c$ chứng minh bdt sau

$$\sum \frac{a^3}{b(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 26-07-2013 - 16:42

[25 minutes]

Cho các số thực dương $a,b,c$ chứng minh bdt sau

$$\sum \frac{a^3}{b(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{2}$$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

   $\sum \frac{a^3}{b(b+c)}=\sum \frac{a^4}{ab^2+abc}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab^2+bc^2+ca^2+abc)+2abc}$

Sử dụng liên tiếp các bất đẳng thức AM-GM ta có 

      $(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant \left [ \frac{(a+b+c)^2}{3} \right ]^2=\frac{(a+b+c)^4}{9}$

      $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

      $2abc\leqslant \frac{2}{27}(a+b+c)^3$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b(b+c)}\geqslant \frac{\frac{(a+b+c)^4}{9}}{\frac{4}{27}(a+b+c)^3+\frac{2}{27}(a+b+c)^3}=\frac{a+b+c}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$   

[25 minutes]

Cho các số thực dương $a,b,c$ chứng minh bdt sau

$$\sum \frac{a^3}{b(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{2}$$

Cách 2 : Sử dụng AM-GM ta có 

            $\frac{a^3}{b(b+c)}+\frac{b}{2}+\frac{b+c}{4}\geqslant \frac{3a}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[badboykmhd123456]

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

   $\sum \frac{a^3}{b(b+c)}=\sum \frac{a^4}{ab^2+abc}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab^2+bc^2+ca^2+abc)+2abc}$

Sử dụng liên tiếp các bất đẳng thức AM-GM ta có 

      $(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant \left [ \frac{(a+b+c)^2}{3} \right ]^2=\frac{(a+b+c)^4}{9}$

      $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

      $2abc\leqslant \frac{2}{27}(a+b+c)^3$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b(b+c)}\geqslant \frac{\frac{(a+b+c)^4}{9}}{\frac{4}{27}(a+b+c)^3+\frac{2}{27}(a+b+c)^3}=\frac{a+b+c}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$   

a chứng minh cụ thể cái bdt đó đk k ạ

[25 minutes]

a chứng minh cụ thể cái bdt đó đk k ạ

Mình sẽ chứng minh lại vậy

Không mất tính tổng quát của bài toán nên ta giả sử $b$ là số nằm giữa của $a$ và $c$

          $\Rightarrow (a-b)(b-c)\geqslant 0$

          $\Rightarrow ab+bc\geqslant b^2+ac$

          $\Rightarrow a^2b+abc\geqslant ab^2+a^2c$

          $\Rightarrow a^2b+2abc+bc^2\geqslant ab^2+a^2c+bc^2+abc$

D0 đó ta chỉ cần chứng minh $a^2b+2abc+bc^2\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

                          $\Rightarrow b(a+c)^2\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng the0 AM-GM 

                          $\Rightarrow b(a+c)^2=4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leqslant 4\frac{(b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2})^3}{27}=\frac{4}{27}(a+b+c)^3$

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 27-07-2013 - 19:51